Question

某連鎖分店銷售某種商品，每件商品的成本為4元，并且每件商品需向總店交a（1≤a≤3）元的管理費(fèi)，預(yù)計(jì)當(dāng)每件商品的售價(jià)為x（7≤x≤9）元時(shí)，一年的銷售量為（10-x）²萬(wàn)件．
（Ⅰ）求該連鎖分店一年的利潤(rùn)L（萬(wàn)元）與每件商品的售價(jià)x的函數(shù)關(guān)系式L（x）；
（Ⅱ）當(dāng)每件商品的售價(jià)為多少元時(shí)，該連鎖分店一年的利潤(rùn)L最大，并求出L的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)條件建立利潤(rùn)L（萬(wàn)元）與每件商品的售價(jià)x的函數(shù)關(guān)系式L（x）；
（Ⅱ）利用導(dǎo)數(shù)求利潤(rùn)函數(shù)的最值即可．

解答：解：（Ⅰ）由題得該連鎖分店一年的利潤(rùn)L（萬(wàn)元）與售價(jià)x的
函數(shù)關(guān)系式為L(zhǎng)（x）=（x-4-a）（10-x）²，x∈[7，9]．
（Ⅱ）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)L'（x）=（10-x）²-2（x-4-a）（10-x）=（10-x）（18+2a-3x），
令L′（x）=0，得x=6+

2

3

a或x=10，
∵1≤a≤3，
∴

20

3

≤6+

2

3

a≤8．
①當(dāng)6+

2

3

a≤7，即1≤a≤

3

2

時(shí)，
∴x∈[7，9]時(shí)，L'（x）≤0，L（x）在x∈[7，9]上單調(diào)遞減，
故L（x）_max=L（7）=27-9a．
②當(dāng)6+

2

3

a＞7，即

3

2

＜a≤3時(shí)，
∴x∈[7，6+

2

3

a]時(shí)，L′（x）＞0；
x∈[6+

2

3

a，9]時(shí)，L'（x）＜0，
∴L（x）在x∈[7，6+

2

3

a]上單調(diào)遞增；在x∈[6+

2

3

a，9]上單調(diào)遞減，
故L(x)max=L(6+

2

3

a)=4(2-

a

3

)3．
答：當(dāng)1≤a≤

3

2

每件商品的售價(jià)為7元時(shí)，該連鎖分店一年的利潤(rùn)L最大，最大值為27-9a萬(wàn)元；
當(dāng)

3

2

＜a≤3每件商品的售價(jià)為6+

2

3

a元時(shí)，該連鎖分店一年的利潤(rùn)L最大，最大值為4(2-

a

3

)3萬(wàn)元．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的應(yīng)用問(wèn)題，利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問(wèn)題，考查學(xué)生應(yīng)用能力．