Question

對于函數(shù)y＝f(x)，若同時滿足下列條件：

函數(shù)y＝f(x)在定義域D內是單調遞增或單調遞減函數(shù)；

存在區(qū)間[a，b]D，使函數(shù)f(x)在[a，b]上的值域為[a，b]，則稱f(x)是D上的閉函數(shù)．

求閉函數(shù)f(x)＝－x³符合條件②的區(qū)間[a，b]；

判斷函數(shù)g(x)＝在區(qū)間(0，＋∞)上是否為閉函數(shù)；

若函數(shù)φ(x)＝k＋是閉函數(shù)，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

答案：
解析：

(1)∵y＝－x3是[a，b]上的減函數(shù)， 　　∴ 　　∴ 　　∴( 　　∴ 　　又∵－a3＝b， 　　∴ 　　∴所求區(qū)間為[－1，1]; 　　(2)∵g′(x)＝∈(0，＋∞)， 　　令g′(x)＝＞0，得x＞ 　　∴x＞時，g(x)為(，＋∞)上的增函數(shù)． 　　令g′(x)＝＜0，得0＜x＜ 　　∴g(x)為(0，)上的減函數(shù)． 　　∴g(x)不是(0，＋∞)上的單調函數(shù)． 　　∴g(x)不是(0，＋∞)上的閉函數(shù); 　　(3)易知φ(x)是[－2，＋∞]上的增函數(shù)． 　　設φ(x)＝k＋滿足條件②的區(qū)間是[a，b]， 　　∴ 　　即a，b是方程x＝k＋的兩個不等實根． 　　也就是方程組　有兩個不等實根a，b． 　　當k≤－2時，方程x2－(2k＋1)＋(k2－2)＝0在[－2，＋∞)上有兩個不等實根． 　　∴ 　　解得：－ 　　當k＞－2時，方程x2－(2k＋1)x＋(k2－2)＝0在[k，＋∞)上有兩個不等實根． 　　∴ 　　解得：－與條件k＞－2矛盾． 　　∴φ(x)＝k＋是閉函數(shù)，實數(shù)k的取值范圍是－