Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=1，且3a_n+1+2S_n=3（n為正整數(shù)）
（Ⅰ）求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若對(duì)任意正整數(shù)n，k≤S_n恒成立，求實(shí)數(shù)k的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由3a_n+1+2S_n，知3a_n+2S_n-1=3．故3a_n+1-3a_n+2a_n=0．由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知Sn=

1×(1- 1 3 n )

1- 1 3

=

3

2

(1-

1

3 n

)，由題意可知，對(duì)于任意的正整數(shù)n，恒有k≤

3

2

(1-

1

3 n

)，由此能求出實(shí)數(shù)k的最大值．

解答：解：（Ⅰ）∵3a_n+1+2S_n，①
∴當(dāng)n≥2時(shí)，3a_n+2S_n-1=3．②
由 ①-②，得3a_n+1-3a_n+2a_n=0．
∴

an+1

an

=

1

3

，n≥2．
又∵a₁=1，3a₂+2a₁=3，解得 a2=

1

3

．
∴數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為1，公比為q=

1

3

的等比數(shù)列．
∴an=a1qn-1=(

1

3

)n-1，（n為正整數(shù)）．…（7分）
（Ⅱ）∵數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為1，公比為q=

1

3

的等比數(shù)列，
∴Sn=

1×(1- 1 3 n )

1- 1 3

=

3

2

(1-

1

3 n

)，
由題意可知，對(duì)于任意的正整數(shù)n，恒有k≤

3

2

(1-

1

3 n

)，
∵數(shù)列{1-

1

3 n

}單調(diào)遞增，當(dāng)n=1時(shí)，數(shù)列中的最小項(xiàng)為

2

3

，即

3

2

(1-

1

3 n

)≥1
∴必有k≤1，即實(shí)數(shù)k的最大值為1．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法和等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意數(shù)列與不等式的綜合應(yīng)用．