Question

已知函數(shù)f（x）對于任意x，y∈R，總有f（x）+f（y）=f（x+y），且x＞0時，f（x）＜0，f(1)=-

1

2

．
（1）求證：f（x）在R上是減函數(shù)；
（2）求f（x）在[-2，2]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)x∈R，t＞0，x+t＞x，利用作差，結(jié)合f（x）+f（y）=f（x+y），即可證得結(jié)論；
（2）確定函數(shù)為奇函數(shù)，從而可求f（x）在[-2，2]上的最大值和最小值．

解答：（1）證明：設(shè)x∈R，t＞0，x+t＞x，則

f(x+t)-f(x)=f(x)+f(t)-f(x)=f(t)

∵t＞0，∴f（t）＜0，f（x+t）＜f（x）
∴f（x）在R上是減函數(shù)
（2）解：由（1）知f（x）在R上是減函數(shù)
∴f（x）在[-2，2]上單調(diào)遞減，
令x=y=0，則f（0）+f（0）=f（0+0），∴f（0）=0
令y=-x，則f（x）+f（-x）=f（x-x），∴f（-x）=-f（x）
∴f（x）是奇函數(shù)
∴f（x）_min=f（2）=f（1）+f（1）=-1，f（x）_max=f（-2）=-f（2）=1

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的最值，解題的關(guān)鍵是正確運(yùn)用單調(diào)性的證題步驟．