Question

14．在△ABC中內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，tanA=$\frac{\sqrt{2}bc}{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}$，a=$\sqrt{2}$，S為△ABC的面積，則S+$\sqrt{2}$cosBcosC的最大值為（　　）

• A． 4
• B． $\sqrt{2}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． 2

Answer 1

分析 先利用余弦定理求得sinA，進(jìn)而通過正弦定理表示出c，代入面積公式求得S+$\sqrt{2}$cosBcosC的表達(dá)式，利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式化簡求得其最大值．

解答 解：∵tanA=$\frac{\sqrt{2}bc}{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}$，
∴tanA=$\frac{\sqrt{2}bc}{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}$=-$\frac{\sqrt{2}}{2sinA}$，
∴sinA=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
由正弦定理 c=a•$\frac{sinC}{sinA}$，
∴S=$\frac{1}{2}acsinB$=$\sqrt{2}$sinBsinC
∴S+$\sqrt{2}$cosBcosC=$\sqrt{2}$sinBsinC+$\sqrt{2}$cosBcosC=$\sqrt{2}$cos（B-C）≤$\sqrt{2}$，
故選：B．

點(diǎn)評 本題主要考查了正弦定理和余弦定理的應(yīng)用．求得面積的表達(dá)式是解決問題的關(guān)鍵．