Question

【題目】PM2.5是指大氣中直徑小于或等于2.5微米的顆粒物，也稱(chēng)為可入肺顆粒物．我國(guó)PM2.5標(biāo)準(zhǔn)采用世衛(wèi)組織設(shè)定的最寬限值，即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空氣質(zhì)量為一級(jí)；在35微克/立方米～75微克/立方米之間空氣質(zhì)量為二級(jí)；在75微克/立方米以上空氣質(zhì)量為超標(biāo)． 某市環(huán)保局從市區(qū)2016年全年每天的PM2.5監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取15天的數(shù)據(jù)作為樣本，監(jiān)測(cè)值如莖葉圖所示（十位為莖，個(gè)位為葉）
（Ⅰ）從這15天的數(shù)據(jù)中任取一天，求這天空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)的概率；
（Ⅱ）從這15天的數(shù)據(jù)中任取3天的數(shù)據(jù)，記ξ表示其中空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)的天數(shù)，求ξ的分布列；
（Ⅲ）以這15天的PM2.5的日均值來(lái)估計(jì)一年的空氣質(zhì)量情況，（一年按360天來(lái)計(jì)算），則一年中大約有多少天的空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）記“從這15天的數(shù)據(jù)中任取一天，這天空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)”為事件A，

則P（A）= = ；

（Ⅱ）依據(jù)條件，ξ服從超幾何分布，其中N=15，M=5，n=3，

ξ的可能值為0，1，2，3，其分布列為：

P（ξ=k）= ，其中k=0，1，2，3；

ξ	0	1	2	3
P

（Ⅲ）依題意可知，一年中每天空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)的概率為P= = ，

一年中空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)的天數(shù)為η，則η～B（360， ）；

∴Eη=360× =120（天），

∴一年中平均有120天的空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)．

【解析】（Ⅰ）用頻率估計(jì)概率，求出“從這15天的數(shù)據(jù)中任取一天，這天空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)”的概率；（Ⅱ）依據(jù)條件，ξ服從超幾何分布，ξ的可能值為0，1，2，3，

且P（ξ=k）= ，寫(xiě)出分布列；（Ⅲ）依題意知一年中每天空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)的概率P，

一年中空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)的天數(shù)η，η～B（360， ），計(jì)算Eη即可．