Question

7．設(shè)f（x）=$\frac{x+1}{x}+a1nx（x＞0）$．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）證明：0≤a≤1時(shí)，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上沒(méi)有零點(diǎn)；
（3）設(shè)F（x）=f（x）-$\frac{1}{x}$（a＞0，x＞0）．A（x₁y₁）B（x₂，y₂）、C（x₃，y₃）依次是函數(shù)F（x）的圖象上從左至右的三點(diǎn)． 證明：△ABC是鈍角三角形．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)數(shù)，分類討論，即可求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）分類討論，證明f（x）＞0，即可證明：0≤a≤1時(shí)，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上沒(méi)有零點(diǎn)；
（3）先表示出向量BA、向量BC，根據(jù)向量的數(shù)量積運(yùn)算求出角B的余弦值小于0得到B為鈍角，從而得證．

解答 （1）解：由題意，f′（x）=$\frac{ax-1}{{x}^{2}}$．
①a≤0，f′（x）＜0，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減；
②a＞0，x∈（0，$\frac{1}{a}$），f′（x）＜0，函數(shù)單調(diào)遞減，x∈（$\frac{1}{a}$，+∞），f′（x）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增；
（2）證明：由（1）可知，a=0時(shí)，f（x）=1+$\frac{1}{x}$＞0恒成立，函數(shù)在（0，+∞）上沒(méi)有零點(diǎn)；
a∈（0，1），x＞0，f（x）_min=f（$\frac{1}{a}$）=1+a+aln$\frac{1}{a}$＞0，
綜上所述，0≤a≤1時(shí)，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上沒(méi)有零點(diǎn)；
（3）解：F′（x）=$\frac{a}{x}$＞0，函數(shù)在（0，+∞）上單調(diào)遞增．
由x₁＜x₂＜x₃，
由（1）知y₁＜y₂＜y₃，
∵$\overrightarrow{BA}$=（x₁-x₂，y₁-y₂），$\overrightarrow{BC}$=（x₃-x₂，y₃-y₂），
∴$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$=（x₁-x₂）（x₃-x₂）+（y₁-y₂）（y₃-y₂）＜0，
∴∠ABC為鈍角，即△ABC是鈍角三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)之間的關(guān)系，以及向量的數(shù)量積運(yùn)算．屬中檔題．