Question

根據(jù)所給條件求下列曲線的方程：
（1）頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為x軸，并經(jīng)過點(diǎn)P（-6，-3）的拋物線方程．
（2）已知：點(diǎn)B與點(diǎn)A（-1，1）關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，P是動(dòng)點(diǎn)，且直線AP與BP的斜率之積等于-

1

3

．求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意設(shè)拋物線方程為y²=2px （p＞0），將點(diǎn)P坐標(biāo)代入求出p值，即得所求拋物線方程；
（2）根據(jù)點(diǎn)A坐標(biāo)，算出B得坐標(biāo)為（1，-1）．由k_AP•k_BP=-

1

3

，利用經(jīng)過兩點(diǎn)的直線斜率公式，列式化簡(jiǎn)可得x²+3y²=4（x≠±1），即為所求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程．

解答：解：（1）依題設(shè)拋物線方程為y²=2px （p＞0）
將點(diǎn)P（-6，-3）代人，得（-3）²=2p×（-6），解之得p=

3

4

，
∴所求拋物線方程為：y²=

3

2

x；
（2）∵點(diǎn)B與A（-1，1）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴點(diǎn)B得坐標(biāo)為（1，-1）．
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），得
直線AP的斜率為k_AP=

y-1

x+1

；直線BP的斜率為k_BP=

y+1

x-1

∵直線AP與BP的斜率之積等于-

1

3

∴

y-1

x+1

•

y+1

x-1

=-

1

3

，化簡(jiǎn)得x²+3y²=4（x≠±1）．
即動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為x²+3y²=4（x≠±1）．

點(diǎn)評(píng)：本題求滿足條件的拋物線方程，并求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程．著重考查了拋物線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程、動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的求法等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．