Question

16．已知曲線C的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=\sqrt{3}sinθ}\end{array}（{θ為參數(shù)}）}\right.$，在同一平面直角坐標(biāo)系中，將曲線C上的點按坐標(biāo)變換$\left\{{\begin{array}{l}{x'=\frac{1}{2}x}\\{y'=\frac{1}{{\sqrt{3}}}y}\end{array}}\right.$得到曲線C'，以原點為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系．
（Ⅰ）求曲線C'的極坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）若過點$A（\frac{3}{2}，π）$（極坐標(biāo)）且傾斜角為$\frac{π}{6}$的直線l與曲線C'交于M，N兩點，弦MN的中點為P，求$\frac{|AP|}{|AM|•|AN|}$的值．

Answer 1

分析 （I）曲線C的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=\sqrt{3}sinθ}\end{array}（{θ為參數(shù)}）}\right.$，利用平方關(guān)系即可化為普通方程．利用變換公式代入即可得出曲線C'的直角坐標(biāo)方程，利用互化公式可得極坐標(biāo)方程．
（II）點$A（\frac{3}{2}，π）$直角坐標(biāo)是$A（-\frac{3}{2}，0）$，將l的參數(shù)方程$\left\{{\begin{array}{l}{x=-2+tcos\frac{π}{6}}\\{y=tsin\frac{π}{6}}\end{array}}\right.$代入曲線C'的直角坐標(biāo)方程可得$4{t^2}-6\sqrt{3}t+5=0$，利用根與系數(shù)的關(guān)系即可得出．

解答 解：（Ⅰ）$C：\left\{{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=\sqrt{3}sinθ}\end{array}}\right.⇒C：\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，（2分）
將$\left\{{\begin{array}{l}{x'=\frac{1}{2}x}\\{y'=\frac{1}{{\sqrt{3}}}y}\end{array}}\right.⇒\left\{{\begin{array}{l}{x=2x'}\\{y=\sqrt{3}y'}\end{array}}\right.$，代入C的普通方程可得x'²+y'²=1，（4分）
即C'：x²+y²=1，所以曲線C'的極坐標(biāo)方程為 C'：ρ=1（5分）
（Ⅱ）點$A（\frac{3}{2}，π）$直角坐標(biāo)是$A（-\frac{3}{2}，0）$，將l的參數(shù)方程$\left\{{\begin{array}{l}{x=-2+tcos\frac{π}{6}}\\{y=tsin\frac{π}{6}}\end{array}}\right.$
代入x²+y²=1，可得$4{t^2}-6\sqrt{3}t+5=0$，（8分）
∴t₁+t₂=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，t₁•t₂=$\frac{5}{4}$，
所以$\frac{|AP|}{|AM|•|AN|}=\frac{{|\frac{{{t_1}+{t_2}}}{2}|}}{{|{t_1}{t_2}|}}=\frac{{3\sqrt{3}}}{5}$．                                      （10分）

點評 本題主要考查極坐標(biāo)系與參數(shù)方程的相關(guān)知識，具體涉及到極坐標(biāo)方程與平面直角坐標(biāo)方程的互化、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．