Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過(guò)定點(diǎn)C（p，0）作直線與拋物線y²=2px（p＞0）相交于A，B兩點(diǎn)，如圖，設(shè)動(dòng)點(diǎn)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）．
（Ⅰ）求證：y₁y₂為定值；
（Ⅱ）若點(diǎn)D是點(diǎn)C關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)，求△ADB面積的最小值；
（Ⅲ）是否存在平行于y軸的定直線l，使得l被以AC為直徑的圓截得的弦長(zhǎng)恒為定值？若存在，求出l的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）分情況討論：當(dāng)直線AB垂直于x軸時(shí)，計(jì)算得y₁y₂=-2p²；當(dāng)直線AB不垂直于x軸時(shí)，設(shè)直線AB的方程為：y=k（x-p），代入拋物線方程得ky²-2py-2p²k=0，因此有y₁y₂=-2p²為定值．

（II）D（-p，0），DC=2p，，當(dāng)AB⊥x軸時(shí)，=．當(dāng)直線AB不垂直x軸時(shí)，，，由此能求出△ADB面積的最小值．
（III）設(shè)存在平行于y軸的直線l，方程為x=t，M（x₁，y₁），圓心為C（x，y），l被圓C截得的弦長(zhǎng)為q，則由圓的幾何性質(zhì)可得 ==．由此能求出存在直線l，其方程為 ．
解答：解：（Ⅰ）當(dāng)直線AB垂直于x軸時(shí)，y₁=p，y₂=-p，因此y₁y₂=-2p²
（定值）；…．（1分）
當(dāng)直線AB不垂直于x軸時(shí)，設(shè)直線AB的方程為：y=k（x-p），代入拋物線方程得；
ky²-2py-2p²k=0
因此有y₁y₂=-2p²為定值．…（4分）
（Ⅱ）D（-p，0），∴DC=2p，
，
當(dāng)AB⊥x軸時(shí)，=．
當(dāng)直線AB不垂直x軸時(shí)，
，
∴
=，
∴，
綜上所述，△ADB面積的最小值是．
（III）設(shè)存在平行于y軸的直線l，方程為x=t，M（x₁，y₁），圓心為C（x，y）
l被圓C截得的弦長(zhǎng)為q，則由圓的幾何性質(zhì)可得：
==
當(dāng) 時(shí)，q=p為定值
故存在這樣的直線l，其方程為 （12分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查弦長(zhǎng)的計(jì)算和直線與拋物線位置關(guān)系的綜合運(yùn)用，解題時(shí)要注意分類討論思想和弦長(zhǎng)公式的合理運(yùn)用，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．