精英家教網(wǎng)如圖1所示,圓O的直徑AB=6,C為圓周上一點(diǎn),BC=3.過C作圓的切線l,過A作l的垂線AD,AD與直線l、圓O分別交于點(diǎn)D、E.
(1)求∠DAC的大小及線段AE的長;
(2)如圖2所示,將△ACD沿AC折起,點(diǎn)D折至點(diǎn)P處,且使得△ACP所在平面與圓O所在平面垂直,連接BP,求二面角P-AB-C大小的余弦值.
分析:(1)連接OC,則OC∥AD,根據(jù)Rt△AEB≌Rt△BCA,即可求出AE的值;
(2)過P作PH⊥AC于H,過H作HF⊥AB于F,連接PF,則PF⊥AB,故∠PFH為二面角P-AB-C的平面角,在Rt△APC中,求出PH,根據(jù)勾股定理求出AH,在Rt△AFH中,求出∠PFH的余弦值.
解答:解:(1)連接OC,則OC∥AD,CB=OB=OC,精英家教網(wǎng)
∴∠COB=∠EAO=60°,∠CAO=30°,
∴Rt△AEB≌Rt△BCA,
∴CB=AE=3.(5分)
(2)過P作PH⊥AC于H,由于平面PAC⊥平面⊙O,則PH⊥平面⊙O.
過H作HF⊥AB于F,連接PF,則PF⊥AB,故∠PFH為二面角P-AB-C的平面角.(8分)
精英家教網(wǎng)在Rt△APC中,PH=AP•sin30°=AC•cos30°•sin30°=3
3
×
3
2
×
1
2
=
9
4

AP2=AH•AC得AH=
AP2
AC
=
9
3
4
,
在Rt△AFH中,F(xiàn)H=AHsin30°=
9
3
8
,
故tan∠PFH=
PH
PF
=
9
4
9
3
8
=
2
3
3
.故cos∠PFH=
21
7
.(12分)
點(diǎn)評:本題主要考查了與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,考查對基礎(chǔ)知識的綜合應(yīng)用能力和基本定理的掌握能力.
練習(xí)冊系列答案
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(1)求∠DAC的大小及線段AE的長;
(2)如圖2所示,將△ACD沿AC折起,點(diǎn)D折至點(diǎn)P處,且使得△ACP所在平面與圓O所在平面垂直,連接BP,求二面角P-AB-C大小的余弦值.

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(幾何證明選講選做題)如圖4所示,圓O的直徑AB=6,C為圓周上一點(diǎn),作圓的切線,過A作的垂線AD,垂足為D,則∠DAC=        

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