Question

已知在（-）ⁿ的展開式中，第6項為常數(shù)項．
（1）求n； 
（2）求含x²項的系數(shù)； 
（3）求展開式中所有的有理項．

Answer 1

【答案】分析：（1）由二項式定理，可得（-）ⁿ的展開式的通項，又由題意，可得當r=5時，x的指數(shù)為0，即，解可得n的值，
（2）由（1）可得，其通項為T_r+1=（-）^rC₁₀^r，令x的指數(shù)為2，可得，解可得r的值，將其代入通項即可得答案；
（3）由（1）可得，其通項為T_r+1=（-）^rC₁₀^r，令x的指數(shù)為整數(shù)，可得當r=2，5，8時，是有理項，代入通項可得答案．
解答：解：（1）根據(jù)題意，可得（-）ⁿ的展開式的通項為=，
又由第6項為常數(shù)項，則當r=5時，，
即=0，解可得n=10，
（2）由（1）可得，T_r+1=（-）^rC₁₀^r，
令，可得r=2，
所以含x²項的系數(shù)為，
（3）由（1）可得，T_r+1=（-）^rC₁₀^r，
若T_r+1為有理項，則有，且0≤r≤10，
分析可得當r=2，5，8時，為整數(shù)，
則展開式中的有理項分別為．
點評：本題考查二項式定理的應用，解題時要區(qū)分有理項與常數(shù)項，關鍵是根據(jù)二項式定理，寫出其展開式的通項．