已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中的一個(gè)橢圓，它的中心在原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為D（2，0），設(shè)點(diǎn)．
（1）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若P是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，求線段PA中點(diǎn)M的軌跡方程；
（3）過原點(diǎn)O的直線交橢圓于點(diǎn)B，C，求△ABC面積的最大值．
【答案】分析：（1）由“左焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為D（2，0）”得到橢圓的半長軸a，半焦距c，再求得半短軸b最后由橢圓的焦點(diǎn)在x軸上求得方程．
（2）設(shè)線段PA的中點(diǎn)為M（x，y），點(diǎn)P的坐標(biāo)是（x，y），由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，分別求得x，y，代入橢圓方程，可求得線段PA中點(diǎn)M的軌跡方程．
（3）分直線BC垂直于x軸時(shí)和直線BC不垂直于x軸兩種情況分析，求得弦長|BC|，原點(diǎn)到直線的距離建立三角形面積模型，再用基本不等式求其最值．
解答：解：（1）由已知得橢圓的半長軸a=2，半焦距c=，則半短軸b=1．
又橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
（2）設(shè)線段PA的中點(diǎn)為M（x，y），點(diǎn)P的坐標(biāo)是（x，y），
由得
由，點(diǎn)P在橢圓上，得，
∴線段PA中點(diǎn)M的軌跡方程是．
（3）當(dāng)直線BC垂直于x軸時(shí)，BC=2，
因此△ABC的面積S△ABC=1．
當(dāng)直線BC不垂直于x軸時(shí)，說該直線方程為y=kx，代入，
解得B（，），C（-，-），
則，又點(diǎn)A到直線BC的距離d=，
∴△ABC的面積S△ABC=
于是S△ABC=
由≥-1，得S△ABC≤，其中，當(dāng)k=-時(shí)，等號(hào)成立．
∴S△ABC的最大值是．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查橢圓的幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，還考查了三角形面積模型的建立和解模型的能力．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知在平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)，點(diǎn)P（x，y）在曲線C：
x=1+cosθ
y=sinθ
(θ為參數(shù)，θ∈R）上運(yùn)動(dòng)．以O(shè)x為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為ρcos(θ+
π
4
)=0．
（Ⅰ）寫出曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程和直線l的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）若直線l與曲線C相交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)M在曲線C上移動(dòng)，試求△ABM面積的最大值，并求此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知在平面直角坐標(biāo)系中的一個(gè)橢圓，它的中心在原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為F(-
3
，0)，且過點(diǎn)D（2，0）．
（1）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)點(diǎn)A(1，
1
2
)，若P是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，求線段PA的中點(diǎn)M的軌跡方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）已知在平面直角坐標(biāo)系xoy中，圓C的參數(shù)方程為
x=
3
+3cosθ
y=1+3sinθ
，（θ為參數(shù)），以ox為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為ρcos(θ+
π
6
)=0，則圓C截直線l所得的弦長為
4
2
4
2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知在平面直角坐標(biāo)系中，O（0，0），A（1，-2），B（1，1），C（2，-1），動(dòng)點(diǎn)M（x，y）滿足條件
-2≤
OM
•
OA
≤2
1≤
OM
•
OB
≤2
，則z=
OM
•
OC
的最大值為（　�。�
A、-1B、0C、3D、4

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中的一個(gè)橢圓，它的中心在原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為F(-
3
，0)，右頂點(diǎn)為D（2，0），設(shè)點(diǎn)A(1，
1
2
)．
（Ⅰ）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）若P是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，求線段PA中點(diǎn)M的軌跡方程；
（Ⅲ）是否存在直線l，滿足l過原點(diǎn)O并且交橢圓于點(diǎn)B、C，使得△ABC面積為1？如果存在，寫出l的方程；如果不存在，請(qǐng)說明理由．

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