如圖所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，H是正方形AA1B1B的中心AA1=2
2
，C1H⊥平面AA1B1B且C1H=
5
．
（1）求異面直線AC與A1B1所成角的余弦值；
（2）求二面角A-A1C1-B1的正弦值．
分析：（1）通過建立空間直角坐標(biāo)系，利用異面直線的方向向量的夾角即可得出；
（2）先求出兩個平面的法向量的夾角即可得出二面角的余弦值．
解答：解：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，點B為坐標(biāo)原點．
依題意得A(2
2
，0，0)，B（0，0，0），C(
2
，-
2
，
5
)，A1(2
2
，2
2
，0)，
B1(0，2
2
，0)，C1(
2
，
2
，
5
)．
（1）易得
AC
=(-
2
，-
2
，
5
)，
A1B1
=(-2
2
，0，0)
于是cos＜
AC
，
A1B1
＞=
AC
•
A1B1
|
AC
| |
A1B1|
=
4
3×2
2
=
2
3
．
∴異面直線AC與A1B1所成角的余弦值為
2
3
．
（2）易知
AA1
=(0，2
2
，0)，
A1C1
=(-
2
，-
2
，
5
)．
設(shè)平面AA1C1的法向量
m
=(x，y，z)，則
m
•
A1C1
=0
m
•
AA1
=0
，即
-
2
x-
2
y+
5
z=0
2
2
y=0
，
不妨令x=
5
，則z=
2
，可得
m
=(
5
，0，
2
)．
同樣可設(shè)面A1B1C1的法向量
n
=(x1，y1，z1)，得
n
=(0，
5
，
2
)．
于是cos＜
m
，
n
＞=
m
•
n
|
m
| |
n
|
=
2
7
7
=
2
7
，∴sin＜
m
，
n
＞=
3
5
7
．
∴二面角A-A1C-B1的正弦值為
3
5
7
．
點評：熟練掌握通過建立空間直角坐標(biāo)系并利用異面直線的方向向量的夾角求異面直線所成的角、兩個平面的法向量的夾角求二面角的方法是解題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊系列答案
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精英家教網(wǎng)如圖所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB=BC=AA1，∠ABC=90°，點E、F分別是棱AB、BB1的中點，則直線EF和BC1所成的角是（　�。�
A、45°B、60°C、90°D、120°

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如圖所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，H是正方形AA1B1B的中心數(shù)學(xué)公式平面AA1B1B且數(shù)學(xué)公式．
（1）求異面直線AC與A1B1所成角的余弦值；
（2）求二面角A-A1C1-B1的正弦值．

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(A)K  (B)H  (C)G    (D)B′

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如圖所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB=BC=AA1，∠ABC=90°，點E、F分別是棱AB、BB1的中點，則直線EF和BC1所成的角是（ ）

A．45°
B．60°
C．90°
D．120°

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