Question

已知直線l過點(diǎn)（0，

5

4

），且斜率為

1

2

，拋物線C：y²=2px（p大于0）的頂點(diǎn)關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)在該拋物線的準(zhǔn)線上．
（1）求拋物線C的方程；
（2）設(shè)A、B是拋物線C上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過A作平行于x軸的直線m，直線OB與直線m交于點(diǎn)N，若

OA

．

OB

+P2=0（O為原點(diǎn)，A、B異于原點(diǎn)），試求點(diǎn)N的軌跡方程．

Answer 1

分析：（1）先求得直線l的方程，進(jìn)而可得到原點(diǎn)垂直于l的直線方程，然后聯(lián)立兩方程求得其交點(diǎn)坐標(biāo)，即可得到P的值，從而可確定拋物線的方程．
（2）先假設(shè)A，B，N的坐標(biāo)，根據(jù)

OA

•

OB

+p2=0可得到關(guān)于A，B坐標(biāo)之間的關(guān)系，再由A，B兩點(diǎn)均在拋物線上得到y(tǒng)₂²=4x₁，y₂²=4x₂即可得到y(tǒng)₁y₂的值，再表示出直線ON，結(jié)合y₂²=4x₁，y₂²=4x₂和y₁y₂=-8可得到點(diǎn)N的軌跡．

解答：解：（1）由題意可得直線l：y=

1

2

x+

5

4

①
過原點(diǎn)垂直于l的直線方程為y=-2x②
解①②得x=-

1

2

．∵拋物線的頂點(diǎn)關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)在該拋物線的準(zhǔn)線上．
∴-

P

2

=-

1

2

×2，P=2∴拋物線C的方程為y²=4x．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），N（x，y），由

OA

•

OB

+p2=0，得x₁x₂+y₁y₂+4=0．
又y₁²=4x₁，y₂²=4x₂．解得y₁y₂=-8③
直線ON：y=

y2

x2

x，即y=

4

y2

x④由③、④及y=y₁得，
點(diǎn)N的軌跡方程為x=-2（y≠0）．

點(diǎn)評：本題主要考查直線與拋物線的綜合題，直線與圓錐曲線的綜合題是高考的重點(diǎn)也是熱點(diǎn)問題，每年必考，平時(shí)要注意基礎(chǔ)知識的積累和靈活運(yùn)用．