如圖,棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱長都等于2,∠ABC=60°,平面AA1C1C⊥平面ABCD,∠A1AC=60°.

(1)證明:BD⊥AA1
(2)求銳二面角D-A1A-C的平面角的余弦值;
(3)在直線CC1上是否存在點P,使BP∥平面DA1C1?若存在,求出點P的位置;若不存在,說明理由.

(1)證明見解析;(2) 二面角D-A1A-C的平面角的余弦值是.(3)存在,點P在C1C的延長線上且使C1C=CP.

解析試題分析:(1)連接BD交AC于O,則BD⊥AC,連接A1O,可證A1O⊥底面ABCD,則可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,分別寫出的坐標(biāo),進而得坐標(biāo),由坐標(biāo)運算可得,即兩向量垂直,得兩線垂直;(2)分別求出兩平面的一個法向量,,利用,可得二面角的平面角的余弦值;(3)令存在,在直線CC1 上設(shè),P(x,y,z),得=(,1+λ,λ),取平面DA1C一法向量,知·=0,得的值,P點可求.

解:連接BD交AC于O,則BD⊥AC,連接A1O.
在△AA1O中,AA1=2,AO=1,∠A1AO=60°,
∴A1O2+AO2-2AA1·AOcos 60°=3,
∴AO2+A1O2=A1A2,∴A1O⊥AO,
由于平面AA1C1C⊥平面ABCD,∴A1O⊥底面ABCD, 2分
∴以O(shè)B、OC、OA1所在直線為x軸、y軸、z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,則A(0,-1,0),B(,0,0),C(0,1,0),D(,0,0),A1(0,0,).
(1)由于=(,0,0),=(0,1,),則·=0×()+1×0+×0=0,
所以:BD⊥AA1.      4分
(2)由于OB⊥平面AA1C1C,
∴平面AA1C1C的法向量=(1,0,0),設(shè)⊥平面AA1D,則
設(shè)=(x,y,z),
得到,  6分
,
∴二面角D-A1A-C的平面角的余弦值是.  8分
(3)假設(shè)在直線CC1上存在點P,使BP∥平面DA1C1,
設(shè),P(x,y,z),則(x,y-1,z)=λ(0,1,),  9分
得P(0,1+λ,λ),=(,1+λ,λ).
設(shè)⊥平面DA1C1,則
設(shè)=(x3,y3,z3),得到
不妨取=(1,0,-1).      10分
又∵∥平面DA1C1,則·=0,即

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