Question

（2009•孝感模擬）設(shè)A，B分別為橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左、右頂點(diǎn)，橢圓長(zhǎng)半軸的長(zhǎng)等于焦距，且x=4為它的右準(zhǔn)線．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)點(diǎn)P為橢圓上不同于A，B的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線PA，PB與橢圓右準(zhǔn)線相交于M，N兩點(diǎn)，在x軸上是否存在點(diǎn)Q，使得

QM

•

QN

=0，若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）由題意，知a=2c，

a2

c

=4，求出a，b 即得出橢圓的方程
（2）設(shè)P（2cosθ，sinθ），M（4，m），N（4，n），設(shè)Q（t，0）利用向量坐標(biāo)表示及數(shù)量積運(yùn)算，由

QM

•

QN

=0，列出關(guān)于t的方程，判斷出解得情況，解得答案．

解答：解：（1）由題意，知a=2c，=4，解得a=2，c=1，∴b=，故橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1…（5分）
（2）設(shè)P（2cosθ，sinθ），M（4，m），N（4，n），則A（-2，0），B（2，0），
由A、P、M三點(diǎn)共線，得m=

3 3 sinθ

1+cosθ

…（7分）
由B、P、N三點(diǎn)共線，得n=

3 sinθ

cosθ-1

，…（9分）
設(shè)Q（t，0），則由

QM

•

QN

=0得
（t-4）（t-4）+（0-

3 3 sinθ

1+cosθ

）（0-

3 sinθ

cosθ-1

）=0，
整理得：（t-4）²-9=0      解得t=1或t=7
∴Q點(diǎn)的坐標(biāo)是（7，0）或（1，0）．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考橢圓的方程求解，向量的運(yùn)算，及探索性問題，用到了方程思想．