Question

在四棱錐P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥CD，在銳角△PAD中PA=PD，并且BD=2AD=8，AB=2DC=4

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（1）點M是PC上的一點，證明：平面MBD⊥平面PAD；
（2）若PA與平面PBD成角60°，當面MBD⊥平面ABCD時，求點M到平面ABCD的距離．

Answer 1

考點：點、線、面間的距離計算,平面與平面垂直的判定

專題：計算題,證明題,空間位置關(guān)系與距離

分析：法一：（1）通過證明平面MBD內(nèi)的直線BD，垂直平面PAD內(nèi)的兩條相交直線，證明直線與平面垂直然后證明兩個平面垂直．
（2）PA與平面PBD成角60°，面MBD⊥平面ABCD時，做PF⊥AD于F，PF∥MN，然后求點M到平面ABCD的距離．
法二：（1）同法一；
（2）建立空間直角坐標系，求出平面的法向量，利用點到平面的距離公式求解即可．

解答： 解：法一（1）∵BD=2AD=8，AB=4

5

，由勾股定理得BD⊥AD，
∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，BD⊆面ABCD，
∴BD⊥平面PADBD⊆面MBD，
∴平面MBD⊥平面PAD…（6分）
（2）如圖，∵BD⊥平面PAD，∴平面PBD⊥平面PAD，∴∠APD=60°，
做PF⊥AD于F，∴PF⊥面ABCD，PF=2

3

，
設面PFC∩面MBD=MN，面MBD⊥平面ABCD∴面PF∥面MBD，∴PF∥MN，
取DB中點Q，得CDFQ為平行四邊形，由平面ABCD邊長得N為FC中點，
∴MN=

1

2

PF=

3

…（12分）
法二（1）同一
（2）在平面PAD過D做AD垂線為z軸，由（1），以D為原點，DA，DB為x，y軸建立空間直角坐標系，
設平面PBD法向量為

u

=(x，y，z)，設P（2，0，a），
銳角△PAD，AD=4
∴a＞2，
由

u

•

DP

=0，

u

•

DB

=0，
解得

u

=(-a，0，2)，

PA

=(2，0，-a)，|cos＜

PA

，

u

＞|=

4a

a2+4

=

3

2

，
解得a=2

3

或a=

2 3

3

＜2（舍）
設

PM

=λ

PC

，解得M(2-4λ，4λ，2

3

-2

3

λ)
∵面MBD⊥平面ABCD，AD⊥BD，
∴面MBD法向量為

DA

=(0，0，4)，∴

DA

•

DM

=0，解得λ=

1

2

，
∴M到平面ABD的距離為豎坐標

3

．        …（12分）

點評：本題考查兩個平面垂直的判斷，點到平面的距離的求法，考查空間想象能力以及計算能力．