Question

已知扇形OAB的半徑為3，圓心角∠AOB=60°，過弧AB上的動點P作平行于BO的直線交AO于點Q，設(shè)∠AOP=θ．
（1）求△POQ的面積S關(guān)于θ的函數(shù)解析式S=f（θ）；
（2）θ為何值時，S=f（θ）有最大值？并求出該最大值．

Answer 1

分析：（1）在三角形POQ中，利用正弦定理列出關(guān)系式，表示出OQ，利用三角形面積公式列出函數(shù)解析式即可；
（2）將函數(shù)解析式積化為差，整理后根據(jù)余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可求出最大值，以及此時θ的度數(shù)即可．

解答：解：（1）在△POQ中，由正弦定理得：

OQ

sin∠OPQ

=

OP

sin∠OQP

，即

OQ

sin(60°-θ)

=

3

sin120°

，
∴OQ=2

3

sin（60°-θ），
則S=

1

2

OP•OQ•sin∠POQ=3

3

sinθsin（60°-θ），θ∈（0，60°）；
（2）S=3

3

sinθsin（60°-θ）=

3 3

2

[cos（2θ-60°）-cos60°]=

3 3

2

[cos（2θ-60°）-

1

2

]，
則當(dāng)cos（2θ-60°）=1，即θ=30°時，S_max=

3 3

4

．

點評：此題考查了正弦定理，三角形的面積公式，余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵．