Question

如圖，4×4的方陣共16個(gè)黑點(diǎn)中，中間的4個(gè)點(diǎn)在一個(gè)圓內(nèi)，其余的12個(gè)點(diǎn)內(nèi)在圓外，若從這16個(gè)點(diǎn)中任取3個(gè)，使之構(gòu)成三角形，且至少有一個(gè)頂點(diǎn)在圓內(nèi)的三角形共有________．

Answer 1

312
分析：事件“至少有一個(gè)頂點(diǎn)在圓內(nèi)”包括了三個(gè)事件“有一個(gè)點(diǎn)在圓內(nèi)”與“有兩個(gè)點(diǎn)在圓內(nèi)”及“三個(gè)點(diǎn)在圓內(nèi)”，注意到構(gòu)成三角形的條件是三點(diǎn)不共線，由此規(guī)律對(duì)兩個(gè)事件計(jì)數(shù)，求得它們的和即為事件“至少有一個(gè)頂點(diǎn)在圓內(nèi)”所包括的基本事件數(shù)
解答：由題意事件“至少有一個(gè)頂點(diǎn)在圓內(nèi)”包括了三個(gè)事件“有一個(gè)點(diǎn)在圓內(nèi)”與“有兩個(gè)點(diǎn)在圓內(nèi)”，“三個(gè)點(diǎn)在圓內(nèi)”
先計(jì)算事件“有一個(gè)點(diǎn)在圓內(nèi)”，從圓外的12個(gè)點(diǎn)中取兩個(gè)，共有C₁₂²=66種取法，三點(diǎn)共線的取法有4種，故總的取法有62種，又圓內(nèi)有四個(gè)點(diǎn)，故事件“有一個(gè)點(diǎn)在圓內(nèi)”包括的基本事件數(shù)有62×4=248，
對(duì)于事件“有兩個(gè)點(diǎn)在圓內(nèi)”，從圓外取一個(gè)點(diǎn)有12種取法，滿足三點(diǎn)共線的取法有2種，故任取圓內(nèi)兩點(diǎn)，圓外取一點(diǎn)，組成的三角形的個(gè)數(shù)為10種，又圓內(nèi)四點(diǎn)取兩個(gè)有C₄²=6種取法，故事件“有兩個(gè)點(diǎn)在圓內(nèi)”，包含的基本事件數(shù)為10×6=60種
事件“三個(gè)在圓內(nèi)”包括的基本事件數(shù)為C₄³=4個(gè)，
綜上，事件“至少有一個(gè)頂點(diǎn)在圓內(nèi)”的三角形總共有248+60+4=312種
故答案為312
點(diǎn)評(píng)：本題考查排列組合及簡(jiǎn)單的計(jì)數(shù)問題，解題的關(guān)鍵是正確理解事件至少有一個(gè)頂點(diǎn)在圓內(nèi)的三角形”，將此計(jì)數(shù)問題分為三類計(jì)數(shù)，本題考查了分類討論的思想，當(dāng)一個(gè)事件包含的基本事件有較大的區(qū)別時(shí)，常采用分類計(jì)數(shù)的辦法計(jì)數(shù)，解題時(shí)要注意此技巧的使用，注意分類要分清楚．