18.函數(shù)f(x)=ex+x2+2x+1與g(x)的圖象關(guān)于直線3x-y-2=0對稱,P,Q分別是函數(shù)f(x),g(x)圖象上的動(dòng)點(diǎn),則|PQ|的最小值為( 。
A.$\frac{2\sqrt{10}}{5}$B.$\frac{3\sqrt{10}}{10}$C.$\frac{6\sqrt{10}}{10}$D.$\frac{4\sqrt{10}}{5}$

分析 根據(jù)函數(shù)f(x)和g(x)關(guān)于直線3x-y-2=0對稱,則利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)f(x)到直線的距離的最小值即可

解答 解:∵f(x)=ex+x2+2x+1,
∴f′(x)=ex+2x+2,
∵函數(shù)f(x)的圖象與g(x)關(guān)于直線3x-y-2=0對稱,
∴函數(shù)f(x)到直線的距離的最小值的2倍,即可|PQ|的最小值.
直線3x-y-2=0的斜率k=3,
由f′(x)=ex+2x+2=3,
即ex+2x-1=0,
解得x=0,
此時(shí)對于的切點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2),
∴過函數(shù)f(x)圖象上點(diǎn)(0,2)的切線平行于直線y=3x-2,
兩條直線間距離d就是函數(shù)f(x)圖象到直線3x-y-2=0的最小距離,
此時(shí)d=$\frac{|0-2-2|}{\sqrt{1+9}}$=$\frac{4}{\sqrt{10}}$=$\frac{2\sqrt{10}}{5}$,
由函數(shù)圖象的對稱性可知,|PQ|的最小值為2d=$\frac{4\sqrt{10}}{5}$,
故選:D.

點(diǎn)評 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及兩點(diǎn)間距離的求解,根據(jù)函數(shù)的對稱性求出函數(shù)f(x)到直線的距離是解決本題的關(guān)鍵.

練習(xí)冊系列答案
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8.下列命題中是真命題的是③④.
①?x∈N,x3<x2
②所有可以被5整除的整數(shù),末尾數(shù)字都是0;
③“若m>0,則x2+x-m=0有實(shí)根”的逆否命題;
④“若x2+y2≠0,則x,y不全為零”的否命題.

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9.已知$sin(α+\frac{π}{4})=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$,$cos(β+\frac{3π}{4})=-\frac{{\sqrt{10}}}{10}$,$α,β∈(\frac{π}{4},\frac{3π}{4})$,求cos(α+β)的值.

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6.雙曲線y=$\frac{1}{x}$在點(diǎn)(2,$\frac{1}{2}$)的切線方程是( 。
A.$\frac{1}{4}$x+y=0B.$\frac{1}{4}$x-y=0C.$\frac{1}{4}$x+y+1=0D.$\frac{1}{4}$x+y-1=0

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13.已知曲線f(x)=x3+ax+b在點(diǎn)(2,-6)處的切線方程是13x-y-32=0.
(Ⅰ)求a,b的值;
(Ⅱ)如果曲線y=f(x)的某一切線與直線y=-$\frac{1}{4}$x+3垂直,求切點(diǎn)坐標(biāo)與切線的方程.

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3.實(shí)數(shù)m為何值時(shí),復(fù)數(shù)z=$\frac{{m}^{2}+m-6}{m+5}$+(m2+8m+15)i
(Ⅰ)為實(shí)數(shù);
(Ⅱ)為純虛數(shù);
(Ⅲ)對應(yīng)點(diǎn)在第二象限.

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10.設(shè)z∈C,|z|=1,則|z+$\sqrt{3}$+i|的最大值為(  )
A.1B.2C.3D.4

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7.給出下列四個(gè)命題:
①函數(shù)f(x)=sin|x|不是周期函數(shù);
②把函數(shù)f(x)=2sin2x圖象上每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的4倍,然后再向右平移$\frac{π}{6}$個(gè)單位得到的函數(shù)解析式可以表示為$g(x)=2sin(\frac{1}{2}x-\frac{π}{6})$;
③函數(shù)f(x)=2sin2x-cosx-1的值域是[-2,1];
④已知函數(shù)f(x)=2cos2x,若存在實(shí)數(shù)x1、x2,使得對任意x都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立,則|x1-x2|的最小值為$\frac{π}{2}$;
其中正確命題的序號(hào)為①④(把你認(rèn)為正確的序號(hào)都填上).

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8.已知函數(shù)f(x)=x2-cosx,對于$[-\frac{π}{2},\frac{π}{2}]$上的任意x1,x2,有如下條件:①x1>x2;②$x_1^2>x_2^2$;③|x1|>x2,其中能使f(x)1>f(x2)恒成立的條件序號(hào)是(  )
A.B.C.D.以上都不對

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