A. | $\frac{2\sqrt{10}}{5}$ | B. | $\frac{3\sqrt{10}}{10}$ | C. | $\frac{6\sqrt{10}}{10}$ | D. | $\frac{4\sqrt{10}}{5}$ |
分析 根據(jù)函數(shù)f(x)和g(x)關(guān)于直線3x-y-2=0對稱,則利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)f(x)到直線的距離的最小值即可
解答 解:∵f(x)=ex+x2+2x+1,
∴f′(x)=ex+2x+2,
∵函數(shù)f(x)的圖象與g(x)關(guān)于直線3x-y-2=0對稱,
∴函數(shù)f(x)到直線的距離的最小值的2倍,即可|PQ|的最小值.
直線3x-y-2=0的斜率k=3,
由f′(x)=ex+2x+2=3,
即ex+2x-1=0,
解得x=0,
此時(shí)對于的切點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2),
∴過函數(shù)f(x)圖象上點(diǎn)(0,2)的切線平行于直線y=3x-2,
兩條直線間距離d就是函數(shù)f(x)圖象到直線3x-y-2=0的最小距離,
此時(shí)d=$\frac{|0-2-2|}{\sqrt{1+9}}$=$\frac{4}{\sqrt{10}}$=$\frac{2\sqrt{10}}{5}$,
由函數(shù)圖象的對稱性可知,|PQ|的最小值為2d=$\frac{4\sqrt{10}}{5}$,
故選:D.
點(diǎn)評 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及兩點(diǎn)間距離的求解,根據(jù)函數(shù)的對稱性求出函數(shù)f(x)到直線的距離是解決本題的關(guān)鍵.
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A. | $\frac{1}{4}$x+y=0 | B. | $\frac{1}{4}$x-y=0 | C. | $\frac{1}{4}$x+y+1=0 | D. | $\frac{1}{4}$x+y-1=0 |
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A. | ① | B. | ② | C. | ③ | D. | 以上都不對 |
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