Question

16．給出關(guān)于雙曲線的三個命題：
①雙曲線$\frac{{y}^{2}}{9}$-$\frac{{x}^{2}}{4}$=1的漸近線方程是y=±$\frac{2}{3}$x；
②若點（2，3）在焦距為4的雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1上，則此雙曲線的離心率e=2；
③若點F，B分別是雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的一個焦點和虛軸的一個端點，則線段FB的中點一定不在此雙曲線的漸近線上．
其中正確命題的個數(shù)是（　�。�

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 ①，雙曲線$\frac{{y}^{2}}{9}$-$\frac{{x}^{2}}{4}$=1的漸近線方程是y=±$\frac{3}{2}$x；
②，若點（2，3）在焦距為4的雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1上，則c=2，$\frac{^{2}}{a}=3，{a}^{2}+^{2}={c}^{2}$，解得a=1，此雙曲線的離心率e=$\frac{c}{a}$=2；
③，若點F，B分別是雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的一個焦點和虛軸的一個端點，則線段FB的中點（-$\frac{c}{2}$，$\frac{2}$），若在此雙曲線的漸近線y=-$\frac{a}x$上，則$\frac{2}=-\frac{a}×（-\frac{c}{2}）$，⇒a=c，

解答 解：對于①，雙曲線$\frac{{y}^{2}}{9}$-$\frac{{x}^{2}}{4}$=1的漸近線方程是y=±$\frac{3}{2}$x，故錯；
對于②，若點（2，3）在焦距為4的雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1上，則c=2，$\frac{^{2}}{a}=3，{a}^{2}+^{2}={c}^{2}$，解得a=1，此雙曲線的離心率e=$\frac{c}{a}$=2，故正確；
對于③，若點F，B分別是雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的一個焦點和虛軸的一個端點，則線段FB的中點（-$\frac{c}{2}$，$\frac{2}$），若在此雙曲線的漸近線y=-$\frac{a}x$上，則$\frac{2}=-\frac{a}×（-\frac{c}{2}）$，⇒a=c，不可能，故錯．
故選：B

點評 本題考查了雙曲線的方程、性質(zhì)，屬于中檔題．