Question

（選做題：請在下列兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題評分）
（A）如圖，AB是半圓的直徑，C是AB延長線一點，CD切半圓于D，，垂足為E，且E是OB的中點，則半圓的半徑長為    ．
（B）在極坐標(biāo)系中，已知圓C的圓心為，半徑為5，直線被圓截得的弦長為8，則α的值等于    ．

Answer 1

【答案】分析：（A）連接OD，則OD⊥DC，在Rt_△OED中，OE=OB=，可得∠ODE=30°．在Rt_△0DC中，由∠DCO=30°、DC=，利用直角三角形中的邊角關(guān)系求出半徑OD的值．
（B）設(shè)出圓上任一點的極坐標(biāo)，利用兩點間的距離公式表示出|PC|的長，讓其值等于圓的半徑5，即可得到圓C的極坐標(biāo)方程，把直線方程代入圓C的方程，得到一個關(guān)于ρ的一元二次方程，利用韋達(dá)定理表示出兩根之和與兩根之積，表示出直線被圓截得的弦長，將兩根之和與兩根之積代入后，然后其值等于8，即可求出sinα的值，由α的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出α的值．
解答：解：（A）如圖連接OD，則OD⊥DC，在Rt△OED中，∵E是OB的中點，ρ₁-ρ₂                                      
∴OE=OB=，所以∠ODE=30°．
再由△DOE∽△COD可得，在Rt△ODC中，∠DCO=30°．
∵DC=，∴OD=DC•tan30°==1，
故答案為 1．
（B）設(shè)圓C上任一點坐標(biāo)為P（ρ，θ），圓心C（6，），圓的半徑r=5，
所以|PC|==5，化簡得：ρ²-12ρsinθ+11=0，即為圓C的極坐標(biāo)方程，
把直線θ=α代入圓C的方程得：ρ²-12ρsinα+11=0．
設(shè)直線與圓交于（ρ₁，α₁）（ρ₂，α₂），根據(jù)韋達(dá)定理得：ρ₁+ρ₂=12sinα，ρ₁ρ₂=11，
所以直線被圓截得的弦長m=|ρ₁-ρ₂|===8，
即 （12sinα）²=64+44，化簡得：sin²α=，解得sinα=．
又α∈[0，]，則α=，
故答案為  ．
點評：本題主要考查弦切角的性質(zhì)和應(yīng)用，還考查了直線與圓相交的性質(zhì)，兩點間的距離公式，韋達(dá)定理及弦長公式，屬于基礎(chǔ)題．