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已知二次函數f(x)=x2+mx+1(m∈z),且關于x的方程f(x)=2在區(qū)間(-3,
12
)
內有兩個不同的實根.
(1)求f(x)的解析式;
(2)設g(x)=m-|x2-1|-k,若g(x)有且僅有兩個零點,求k的取值范圍.
分析:(1)由題意轉化為函數g(x)=x2+mx-1在區(qū)間(-3,
1
2
)
內有兩個不同的零點(圖象與x軸有兩個不同的交點),由二次函數的性質列出等價不等式組,再求出m的值,代入解析式求解;
(2)由題意得g(x)=m-|x2-1|-k=0,由(1)化簡后由指對互化得,-|x2-1|=log2k有兩個不同的實根,再畫出y=-|x2-1|的圖象,列出不等式由對數函數的性質求解.
解答:解:(1)由f(x)=2得,x2+mx-1=0,
則方程x2+mx-1=0在區(qū)間(-3,
1
2
)
內有兩個不同的實根,
即函數g(x)=x2+mx-1在區(qū)間(-3,
1
2
)
內有兩個不同的零點(圖象與x軸有兩個不同的交點),
△=m2+4>0
-3<-
m
2
1
2
g(-3)=9-3m-1>0
g(
1
2
)=
1
4
+
m
2
-1>0
,解得
3
2
<m<
8
3
,
∵m∈z,∴m=2,
則函數的解析式是f(x)=x2+2x+1,
(2)由g(x)=m-|x2-1|-k=0得,2-|x2-1|=k,
即-|x2-1|=log2k有兩個不同的實根,
畫出y=-|x2-1|的圖象:

由圖得,log2k<-1或log2k=0,
解得0<k<
1
2
或k=1

故k的取值范圍:0<k<
1
2
或k=1
點評:本題主要考查了方程的根與函數零點之間的轉化問題,利用二次函數的性質和對數函數的性質化簡,考查了數形結合思想和基本的作圖能力.
練習冊系列答案
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f(x)x-1

(1)求a的值;
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(2)已知二次函數f(x)的圖象的頂點是(-1,2),且經過原點,求f(x)的解析式.

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