Question

已知x、y滿足

1≤x+y≤4 -2≤x-y≤2

目標(biāo)函數(shù)Z=ax+by（a＞0，b＞0）．
（1）若a=2，b=1，求Z的最大值與最小值；
（2）若Z的最大值為6，求

6

a

+

2

b

的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：簡單線性規(guī)劃

專題：計(jì)算題,作圖題,綜合題,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）由題意作出其平面區(qū)域，將z=2x+y化為y=-2x+z，z相當(dāng)于直線y=-2x+z的縱截距，由幾何意義可得；（2）討論Z取得最大值時的點(diǎn)，并令最大值為6，求

6

a

+

2

b

的最小值．

解答： 解：（1）其平面區(qū)域如下圖：

由a=2，b=1，目標(biāo)函數(shù)Z=2x+y可化為y=-2x+Z，Z相當(dāng)于直線y=-2x+z的縱截距，
由圖可知，當(dāng)x=3，y=1時有最大值，
Z_max=2×3+1=7，
當(dāng)x=-0.5，y=1.5時，有最小值，
Z_max=2×（-0.5）+1.5=

1

2

．
（2）由圖可知，當(dāng)a＜b時，目標(biāo)函數(shù)Z=ax+by的最大值在（1，3）時取得，
即a+3b=6，
則

6

a

+

2

b

=

a+3b

a

+

a+3b

b

×

1

3

=3（

b

a

+

a

9b

）+2，
∵0＜a＜b，∴

b

a

＞1，
又∵y=3（x+

1

9x

）+2在[1，+∞）上是增函數(shù)，
∴3（

b

a

+

a

9b

）+2＞3（1+

1

9

）+2=5+

1

3

=

16

3

，
當(dāng)a≥b時，目標(biāo)函數(shù)Z=ax+by的最大值在（3，1）時取得，
即3a+b=6，
則

6

a

+

2

b

=3+

1

3

+

b

a

+

a

b

≥

16

3

，
綜上所述，

6

a

+

2

b

的最小值為：

16

3

．

點(diǎn)評：本題考查了簡單線性規(guī)劃，作圖要細(xì)致認(rèn)真，同時考查了最值問題，用到函數(shù)的單調(diào)性與基本不等式，屬于中檔題．