Question

13．已知實數x，y使得x²+4y²-2x+8y+1=0，則x+2y的最小值等于-2$\sqrt{2}$-1．

Answer 1

分析 將x²+4y²-2x+8y+1=9化簡為（x-1）²+4（y+1）²=4，利用換元法，令$\left\{\begin{array}{l}x-1=2cosθ\\ y+1=sinθ\end{array}$，通過三角函數的有界性，求出最小值即可．

解答 解：由題意：x²+4y²-2x+8y+1=0，化簡為（x-1）²+4（y+1）²=4，
令$\left\{\begin{array}{l}x-1=2cosθ\\ y+1=sinθ\end{array}$，θ∈[0，2π）．
則：x=2cosθ+1，y=sinθ-1．
所以：x+2y=2cosθ+1+2sinθ-2=2cos θ+2sin θ-1=2$\sqrt{2}$sin（$θ+\frac{π}{4}$）-1
∵sin（$θ+\frac{π}{4}$）的最小值為-1，
∴x+2y的最小值-2$\sqrt{2}$-1．
故答案為：-2$\sqrt{2}$-1．

點評 本題考查了圓與直線的位置關系問題．屬于中檔題．