溫州某私營公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品,根據(jù)歷年的情況可知,生產(chǎn)該產(chǎn)品每天的固定成本為14000元,每生產(chǎn)一件該產(chǎn)品,成本增加210元.已知該產(chǎn)品的日銷售量f(x)與產(chǎn)量x之間的關(guān)系式為f(x)=
1
625
x2,0≤x≤400
256,x>400
,每件產(chǎn)品的售價g(x)與產(chǎn)量x之間的關(guān)系式為g(x)=
-
5
8
x+750,0≤x≤400
500,x>400

(Ⅰ)寫出該公司的日銷售利潤Q(x)與產(chǎn)量x之間的關(guān)系式;
(Ⅱ)若要使得日銷售利潤最大,每天該生產(chǎn)多少件產(chǎn)品,并求出最大利潤.
分析:(I)先求出總成本c(x)的函數(shù),然后根據(jù)日銷售利潤Q(x)=f(x)g(x)-c(x)求出所求;
(II)討論x的范圍,然后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值,分別求出最值,從而求出整個函數(shù)的最值,從而得到結(jié)論.
解答:解:(Ⅰ)總成本為c(x)=14000+210x.(1分)
所以日銷售利潤Q(x)=f(x)g(x)-c(x)=
-
1
1000
x3+
6
5
x2-210x-14000,0≤x≤400
-210x+114000,x>400
.(5分)
(Ⅱ)①當(dāng)0≤x≤400時,Q/(x)=-
3
1000
x2+
12
5
x-210

令Q′(x)=0,解得x=100或x=700.
于是Q(x)在區(qū)間[0,100]上單調(diào)遞減,在區(qū)間[100,400]上單調(diào)遞增,
所以Q(x)在x=400時取到最大值,且最大值為30000;(8分)
②當(dāng)x>400時,Q(x)=-210x+114000<30000.
綜上所述,若要使得日銷售利潤最大,每天該生產(chǎn)400件產(chǎn)品,其最大利潤為30000元.(10分)
點評:本題考查了分段函數(shù),以及函數(shù)與方程的思想,屬于基礎(chǔ)題.函數(shù)模型為分段函數(shù),求分段函數(shù)的最值,應(yīng)先求出函數(shù)在各部分的最值,然后取各部分的最值的最大值為整個函數(shù)的最大值,取各部分的最小者為整個函數(shù)的最小值.
練習(xí)冊系列答案
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  ,每件產(chǎn)品的售價與產(chǎn)量之間的關(guān)系式為

(Ⅰ)寫出該公司的日銷售利潤與產(chǎn)量之間的關(guān)系式;

(Ⅱ)若要使得日銷售利潤最大,每天該生產(chǎn)多少件產(chǎn)品,并求出最大利潤

 

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(Ⅰ)寫出該公司的日銷售利潤Q(x)與產(chǎn)量x之間的關(guān)系式;
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