Question

設(shè)f(x)＝－x³＋x²＋2ax.

(1)若f(x)在(，＋∞)上存在單調(diào)遞增區(qū)間，求a的取值范圍．

(2)當(dāng)0<a<2時(shí)，f(x)在[1,4]上的最小值為－，求f(x)在該區(qū)間上的最大值．

Answer 1

(1)由f ′(x)＝－x²＋x＋2a

＝－(x－)²＋＋2a

當(dāng)x∈[，＋∞)時(shí)，f ′(x)的最大值為f ′()＝＋2a；令＋2a>0，得a>－

所以，當(dāng)a>－時(shí)，f(x)在(，＋∞)上存在單調(diào)遞增區(qū)間．即f(x)在(，＋∞)上存在單調(diào)遞增區(qū)間時(shí)，a的取值范圍是(－，＋∞)．

(2)令f ′(x)＝0，得兩根

所以f(x)在(－∞，x₁)，(x₂，＋∞)上單調(diào)遞減，

在(x₁，x₂)上單調(diào)遞增．

當(dāng)0<a<2時(shí)，有x₁<1<x₂<4，

所以f(x)在[1,4]上的最大值為f(x₂)，

又f(4)－f(1)＝－＋6a<0，即f(4)<f(1)

所以f(x)在[1,4]上的最小值為f(4)＝8a－＝－，得a＝1，x₂＝2，

從而f(x)在[1,4]上的最大值為f(2)＝.