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如圖1，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥CD，AD=2BC=2CD=4，E為AD的中點，將△ABE沿BE折起，使二面角A-BE-C是直二面角，并連接AC，AD得到四棱錐A-BCDE，如圖2．
（1）求四棱錐A-BCDE的體積；
（2）若M，N分別是BC，AD的中點，求證：MN∥平面ABE．
分析：根據折起后幾何圖形的性質，判斷椎體的高與底面，根據椎體的體積公式求解即可；
根據平行四邊形的對邊平行且相等，判定線線平行，再通過線線平行證線面平行．
解答：解：（1）∵AD=2BC=4，E為AD的中點，∴BE∥CD
又∵AD⊥CD∴BE⊥AE，BE⊥ED∴∠AED是二面角A-BE-C所成的二面角，即∠AED=90°
而BE∩ED=E，BE，ED⊆平面BCDE∴AE⊥平面BCDE∵AE=2，SBCDE=4∴四棱錐A-BCDE的體積V=
8
3
．
（2）證明：作AE的中點F，連接NF，BF
∵N是AD的中點，∴NF∥BC，NF=
1
2
BC
又∵M分別是BC的中點，∴BM∥NF，BM=NF，
∴四邊形BMNF是平行四邊形，∴MN∥BF
∵MN?平面ABE，BF?平面ABE，
∴MN∥平面ABE．
點評：本題考查椎體的體積計算與線面平行關系的證明．證明線面平行的方法：法一，線線平行⇒線面平行；法二，面面平行⇒線面平行．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網如圖1，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E，F分別為邊AD和BC上的點，且EF∥AB，AD=2AE=2AB=4FC=4．將四邊形EFCD沿EF折起成如圖2的位置，使AD=AE．
（Ⅰ）求證：BC∥平面DAE；
（Ⅱ）求四棱錐D-AEFB的體積．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2011•寧波模擬）如圖1，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E，F分別為邊AD和BC上的點，且EF∥AB，AD=2AE=2AB=4FC=4，將四邊形EFCD沿EF折起如圖2的位置，使AD=AE．
（I）求證：BC∥平面DAE；
（II）求四棱錐D-AEFB的體積；
（III）求面CBD與面DAE所成銳二面角的余弦值．

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科目：高中數學 來源：2012-2013學年遼寧省五校協作體高三上學期期初聯考理科數學試卷（解析版） 題型：解答題

（本小題滿分12分）

如圖(1)在直角梯形ABCP中，BC∥AP，AB⊥BC，CD⊥AP，AD＝DC＝PD＝2，E、F、G分別是PC、PD、BC的中點，現將△PDC沿CD折起，使平面PDC⊥平面ABCD(如圖2)

(1)求二面角G－EF－D的大小；

(2)在線段PB上確定一點Q，使PC⊥平面ADQ，并給出證明過程.

 

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科目：高中數學 來源：2010-2011學年浙江省寧波市十校高三聯考數學理卷 題型：解答題

．如圖1，直角梯形ABCD中，， E，F分別為邊AD和BC上的點，且EF//AB，AD=2AE=2AB=4FC=4將四邊形EFCD沿EF折起（如圖2），使AD=AE.

   （Ⅰ）求證：BC//平面DAE；

   （Ⅱ）求四棱錐D—AEFB的體積；

   （Ⅲ）求面CBD與面DAE所成銳二面角的余弦值.

 

 

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖1，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E，F分別為邊AD和BC上的點，且EF∥AB，AD=2AE=2AB=4FC=4．將四邊形EFCD沿EF折起成如圖2的位置，使AD=AE．
（Ⅰ）求證：BC∥平面DAE；
（Ⅱ）求四棱錐D-AEFB的體積．

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