【題目】已知橢圓C: ,左焦點(diǎn) ,且離心率 (Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)若直線l:y=kx+m(k≠0)與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M,N(M,N不是左、右頂點(diǎn)),且以MN為直徑的圓經(jīng)過(guò)橢圓C的右頂點(diǎn)A.求證:直線l過(guò)定點(diǎn),并求出定點(diǎn)的坐標(biāo).
【答案】(Ⅰ)解:∵橢圓C: , 左焦點(diǎn) ,且離心率 ,
∴c= , ,
∴a=2,b2=4﹣3=1,
∴橢圓C的方程 .
(Ⅱ)證明:設(shè)M(x1 , y1) N(x2 , y2),
右頂點(diǎn)A(2,0)
,
∵以MN為直徑的圓經(jīng)過(guò)橢圓C的右頂點(diǎn)A,
∴(2﹣x2)(2﹣x1)+y1y2=0,
∵y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2
∴4+(km﹣2)(x1+x2)+(1+k2)x1x2+m2=0 ①
把y=kx+m代入橢圓方程 ,
得 +(kx+m)2=1,
整理,得( +k2)x2+2kmx+m2﹣1=0,
所以x1x2= ,x1+x2=﹣ ,②
把②入①,得
4+(km﹣2)(﹣ )+(1+k2) +m2
=(5m2+16km+12k2)÷(1+4k2)
=(m+2k)(5m+6k)÷(1+4k2)
=0
所以m+2k=0 或者 m+ k=0
當(dāng)m+2k=0時(shí),直線y=kx﹣2k恒過(guò)點(diǎn)(2,0)和A點(diǎn)重合顯然不符合
當(dāng)m+ k=0時(shí) 直線恒過(guò)點(diǎn)( ,0)符合題意
所以該定點(diǎn)坐標(biāo)就是( ,0)
【解析】(I)由題設(shè)知c= , ,由此能求出橢圓C的方程.(II)設(shè)M(x1 , y1) N(x2 , y2),右頂點(diǎn)A(2,0), ,由以MN為直徑的圓經(jīng)過(guò)橢圓C的右頂點(diǎn)A,知(2﹣x2)(2﹣x1)+y1y2=0,由y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2 , 知4+(km﹣2)(x1+x2)+(1+k2)x1x2+m2=0.把y=kx+m代入橢圓方程 ,得( +k2)x2+2kmx+m2﹣1=0,再由韋達(dá)定理結(jié)合題設(shè)條件能求出該定點(diǎn)坐標(biāo).
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸:,焦點(diǎn)在y軸:才能正確解答此題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知定點(diǎn)F(1,0),動(dòng)點(diǎn)P(異于原點(diǎn))在y軸上運(yùn)動(dòng),連接FP,過(guò)點(diǎn)P作PM交x軸于點(diǎn)M,并延長(zhǎng)MP到點(diǎn)N,且 , .
(1)求動(dòng)點(diǎn)N的軌跡C的方程;
(2)若直線l與動(dòng)點(diǎn)N的軌跡交于A、B兩點(diǎn),若 且 ,求直線l的斜率k的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知f(x)為定義在R上的奇函數(shù),且當(dāng)x≥0時(shí),f(x)=x2﹣(a+4)x+a.
(1)求實(shí)數(shù)a的值及f(x)的解析式;
(2)求使得f(x)=x+6成立的x的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖是正方體的平面展開圖,在這個(gè)正方體中, ①BM與ED平行;
②CN與BE是異面直線;
③CN與BM成60°角;
④DM與BN垂直.
以上四個(gè)命題中,正確命題的序號(hào)是( )
A.③
B.③④
C.①③
D.①③④
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,有一個(gè)幾何體的三視圖及其尺寸(單位:cm),則該幾何體的表面積和體積分別為( )
A.24πcm2 , 12πcm3
B.15πcm2 , 12πcm3
C.24πcm2 , 36πcm3
D.15πcm2 , 36πcm3
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)= ,若|f(x)|≥ax,則a的取值范圍是( )
A.(﹣∞,0]
B.(﹣∞,1]
C.[﹣2,1]
D.[﹣2,0]
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】橢圓C: + =1(a>b>0)的離心率為 ,其左焦點(diǎn)到點(diǎn)P(2,1)的距離為 . (Ⅰ)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)若直線l:y=kx+m與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn)(A,B不是左右頂點(diǎn)),且以AB為直徑的圓過(guò)橢圓C的右頂點(diǎn).求證:直線l過(guò)定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AB=1,AC=2,BC= ,D,E分別是AC1和BB1的中點(diǎn),則直線DE與平面BB1C1C所成的角為( )
A.
B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,離心率為 ,且經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(4,1),直線l:y=x+m交橢圓于不同的兩點(diǎn)A,B. (Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)求m的取值范圍;
(Ⅲ)若直線l不過(guò)點(diǎn)M,求證:直線MA、MB與x軸圍成一個(gè)等腰三角形.
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