如圖,在三棱錐A-BCD中,側(cè)面ABD、ACD是全等的直角三角形,AD是公共的斜邊,且AD=
3
,BD=CD=1,另一個(gè)側(cè)面是正三角形
(1)求證:AD⊥BC
(2)求二面角B-AC-D的大。
分析:(1)根據(jù)所給的三棱錐中的各邊關(guān)系,可以判斷△BCD為等腰直角三角形,又因?yàn)椤摺鰽BC為等邊三角,所以若取BC中點(diǎn)O,連AO、DO,則AO⊥BC,DO⊥BC,就可得到BC⊥平面AOD,BC⊥AD.
(2)欲求二面角B-AC-D的大小,先找到二面角的平面角,二面角的平面角滿足,頂點(diǎn)在棱上,兩條邊分別在兩個(gè)面內(nèi),且兩條邊分別垂直于棱,因?yàn)閳D中沒有滿足條件的角,所以可以添加輔助線,作BM⊥AC于M,作MN⊥AC交AD于N,
則∠BMN就是二面角B-AC-D的平面角.在把角放入三角形BMN中,通過解三角形求出該角.
解答:證明:(1)在Rt△ABD與Rt△ACD中,∵AD是公共的斜邊,且AD=
3
,BD=CD=1,∴AB=AC=
2

∵∵△ABC為等邊三角形,∴BC=
2

∴△BCD為等腰直角三角形,
取BC的中點(diǎn)O,連AO、DO,
∵△ABC為等邊三角形,∴AO⊥BC
∵△BCD為等腰直角三角形,∴DO⊥BC.
∴BC⊥平面AOD,∴BC⊥AD.
解:(2)作BM⊥AC于M,作MN⊥AC交AD于N,
則∠BMN就是二面角B-AC-D的平面角.
AB=AC=BC=
2
,M是AC的中點(diǎn),且MN∥CD
BM=
6
2
,MN=
1
2
CD=
1
2
,BN=
1
2
AD=
3
2

由余弦定理得cos∠BMN=
BM2+MN2-BN2
2BM•MN
=
6
3

∠BMN=arccos
6
3
點(diǎn)評(píng):本題主要考查立體幾何中異面直線垂直的證明,以及二面角的求法,考查了學(xué)生的空間想象力,識(shí)圖能力和轉(zhuǎn)化能力.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,在三棱錐A-BCD中,側(cè)面ABD、ACD是全等的直角三角形,AD是公共的斜邊,且AD=
3
,BD=CD=1,另一個(gè)側(cè)面是正三角形.
(1)求證:AD⊥BC.
(2)求二面角B-AC-D的大小.
(3)在直線AC上是否存在一點(diǎn)E,使ED與面BCD成30°角?若存在,確定E的位置;若不存在,說明理由.

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精英家教網(wǎng)如圖,在三棱錐A-BOC中,AO⊥底面BOC,∠OAB=∠OAC=30°,AB=AC=4,BC=2
2
,動(dòng)點(diǎn)D在線段AB上.
(Ⅰ)求證:平面COD⊥平面AOB;
(Ⅱ)當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到線段AB的中點(diǎn)時(shí),求二面角D-CO-B的大。
(Ⅲ)當(dāng)CD與平面AOB所成角最大時(shí),求三棱錐C-OBD的體積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在三棱錐A-BCD中,AD⊥平面ABC,∠BAC=120°,且AB=AC=AD=2,點(diǎn)E在BC上,且AE⊥AC.
(Ⅰ)求證:AC⊥DE;
(Ⅱ)求點(diǎn)B到平面ACD的距離.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在三棱錐A-BOC中,AO⊥面BOC,二面角B-AO-C是直二面角,OB=OC,∠OAB=
π6
,斜邊AB=4,動(dòng)點(diǎn)D在斜邊AB上.
(1)求證:平面COD⊥平面AOB;
(2)當(dāng)D為AB的中點(diǎn)時(shí),求:異面直線AO與CD所成角大小.

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