Question

如圖，已知四棱錐P-ABCD，PA⊥平面ABCD，底面ABCD為直角梯形，∠BAD=90°，且AB∥CD，AB=

1

2

CD．
（1）點(diǎn)F在線(xiàn)段FC上運(yùn)動(dòng)，且設(shè)

|PF|

|FC|

=λ，問(wèn)當(dāng)λ為何值時(shí)，BF∥平面PAD，并證明你的結(jié)論；
（2）當(dāng)BF∥面PAD，且∠PDA=

π

4

，AD=2，CD=3求四棱錐F-BCD的體積．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)λ=1時(shí)，取PD的中點(diǎn)G，連接BG，F(xiàn)G，證明四邊形ABFG為平行四邊形，得BF∥AG，由線(xiàn)面平行的判定定理可證BF∥平面PAD；
（2）根據(jù)△PAD為等腰直角三角形，可得PA=2，故三棱錐F-BCD的高為

1

2

×PA=1，求出底面△BCD的面積，代入體積公式計(jì)算．

解答：解：（1）當(dāng)λ=1時(shí)，取PD的中點(diǎn)G，連接BG，F(xiàn)G，
∴F，G分別為PC，PD的中點(diǎn)，
∴FG∥CD，F(xiàn)G=

1

2

CD，
又AB∥CD，AB=

1

2

CD．
∴FG∥AB，F(xiàn)G=AB，四邊形ABFG為平行四邊形，∴BF∥AG，
AG?平面PAD，BF?平面PAD，∴BF∥平面PAD；
（2）∵PA⊥平面ABCD，∠PDA=45°，AD=2，∴PA=2，
∵F為PC的中點(diǎn)，∴三棱錐F-BCD的高為

1

2

×PA=1，
∵底面ABCD為直角梯形，∠BAD=90°，
∴S_△BCD=

1

2

×CD×AD=

1

2

×3×2=3，
∴V_F-BCD=

1

3

×3=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了線(xiàn)面平行的證明，考查了棱錐的體積計(jì)算，屬于中檔題．