(2013•浙江模擬)已知函數(shù)f(x)=
(ax-1)2
2-x
,x∈(0,1],它的一個(gè)極值點(diǎn)是x=
1
2

(Ⅰ) 求a的值及f(x)的值域;
(Ⅱ)設(shè)函數(shù)g(x)=ex+4
x
-4x-a,試求函數(shù)F(x)=g(x)-f(x)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù).
分析:(I)先求導(dǎo)函數(shù),然后根據(jù)x=
1
2
為函數(shù)f(x)的一個(gè)極值點(diǎn),則f'(
1
2
)=0求出a的值,最后利用導(dǎo)數(shù)符號(hào)確定函數(shù)的極值點(diǎn),代入原函數(shù),求出值域即可;
(II)討論函數(shù)F(x)=g(x)-f(x)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù),即討論方程g(x)=f(x)根的個(gè)數(shù).畫出函數(shù)f(x)、g(x)在同一坐標(biāo)系的大致圖象,利用數(shù)形結(jié)合即可得出答案.
解答:解:(I)∵f′(x)=
2a(ax-1)(2-x)+(ax-1)2
(2-x)2
,
依題意得f'(
1
2
)=0,解得a=2或a=
2
7

當(dāng)a=2時(shí),所以f(x)=
(2x-1)2
2-x
,f(x)在區(qū)間(0,
1
2
]單調(diào)減,在區(qū)間(
1
2
,1]單調(diào)增,
所以當(dāng)x=1時(shí),函數(shù)f(x)取得最大值f(1)=1;當(dāng)x=
1
2
時(shí),函數(shù)f(x)取得最小值f(
1
2
)=0.
∴f(x)的值域[0,1];
當(dāng)a=
2
7
時(shí),所以f(x)=
(
2
7
x-1)
2
2-x
,f(x)在區(qū)間(0,
1
2
]單調(diào)減,在區(qū)間(
1
2
,1]單調(diào)增,
所以當(dāng)x=1時(shí),函數(shù)f(x)取得最大值f(1)=
25
49
;當(dāng)x=
1
2
時(shí),函數(shù)f(x)取得最小值f(
1
2
)=
24
49

∴f(x)的值域[
24
49
25
49
];.…(6分)
(II)由(I)知,
當(dāng)a=2時(shí),所以f(x)=
(2x-1)2
2-x
,
∴討論函數(shù)F(x)=g(x)-f(x)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù),即討論方程g(x)=f(x)根的個(gè)數(shù).
函數(shù)f(x)、g(x)在同一坐標(biāo)系的大致圖象如圖所示,

f(x)在區(qū)間(0,
1
2
]單調(diào)減,在區(qū)間(
1
2
,1]單調(diào)增,
此時(shí),兩個(gè)函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn),從而函數(shù)F(x)=g(x)-f(x)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是2;
當(dāng)a=
2
7
時(shí),所以f(x)=
(
2
7
x-1)
2
2-x
,f(x)在區(qū)間(0,
1
2
]單調(diào)減,在區(qū)間(
1
2
,1]單調(diào)增,
函數(shù)f(x)、g(x)在同一坐標(biāo)系的大致圖象如圖所示,

f(x)在區(qū)間(0,
1
2
]單調(diào)減,在區(qū)間(
1
2
,1]單調(diào)增,
此時(shí),兩個(gè)函數(shù)的圖象沒有交點(diǎn),從而函數(shù)F(x)=g(x)-f(x)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是0.…(12分)
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,同時(shí)考查了分類討論和數(shù)形結(jié)合的思想,屬于中檔題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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π
2
)的部分圖象如圖示,則將y=f(x)的圖象向右平移
π
6
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2
5
2
5

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AB
|=a,|
AD
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AC
BD
=(  )

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(2013•浙江模擬)已知sin(
π
4
-x)=
3
4
,且x∈(-
π
2
,-
π
4
)
,則cos2x的值為
-
3
7
8
-
3
7
8

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