Question

（2013•浙江模擬）已知函數(shù)f（x）=

(ax-1)2

2-x

，x∈（0，1]，它的一個(gè)極值點(diǎn)是x=

1

2

．
（Ⅰ） 求a的值及f（x）的值域；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)g（x）=e^x+4

x

-4x-a，試求函數(shù)F（x）=g（x）-f（x）的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析：（I）先求導(dǎo)函數(shù)，然后根據(jù)x=

1

2

為函數(shù)f（x）的一個(gè)極值點(diǎn)，則f'（

1

2

）=0求出a的值，最后利用導(dǎo)數(shù)符號(hào)確定函數(shù)的極值點(diǎn)，代入原函數(shù)，求出值域即可；
（II）討論函數(shù)F（x）=g（x）-f（x）的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，即討論方程g（x）=f（x）根的個(gè)數(shù)．畫出函數(shù)f（x）、g（x）在同一坐標(biāo)系的大致圖象，利用數(shù)形結(jié)合即可得出答案．

解答：解：（I）∵f′（x）=

2a(ax-1)(2-x)+(ax-1)2

(2-x)2

，
依題意得f'（

1

2

）=0，解得a=2或a=

2

7

．
當(dāng)a=2時(shí)，所以f（x）=

(2x-1)2

2-x

，f（x）在區(qū)間（0，

1

2

]單調(diào)減，在區(qū)間（

1

2

，1]單調(diào)增，
所以當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)f（x）取得最大值f（1）=1；當(dāng)x=

1

2

時(shí)，函數(shù)f（x）取得最小值f（

1

2

）=0．
∴f（x）的值域[0，1]；
當(dāng)a=

2

7

時(shí)，所以f（x）=

( 2 7 x-1)2

2-x

，f（x）在區(qū)間（0，

1

2

]單調(diào)減，在區(qū)間（

1

2

，1]單調(diào)增，
所以當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)f（x）取得最大值f（1）=

25

49

；當(dāng)x=

1

2

時(shí)，函數(shù)f（x）取得最小值f（

1

2

）=

24

49

．
∴f（x）的值域[

24

49

，

25

49

]；．…（6分）
（II）由（I）知，
當(dāng)a=2時(shí)，所以f（x）=

(2x-1)2

2-x

，
∴討論函數(shù)F（x）=g（x）-f（x）的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，即討論方程g（x）=f（x）根的個(gè)數(shù)．
函數(shù)f（x）、g（x）在同一坐標(biāo)系的大致圖象如圖所示，

f（x）在區(qū)間（0，

1

2

]單調(diào)減，在區(qū)間（

1

2

，1]單調(diào)增，
此時(shí)，兩個(gè)函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，從而函數(shù)F（x）=g（x）-f（x）的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是2；
當(dāng)a=

2

7

時(shí)，所以f（x）=

( 2 7 x-1)2

2-x

，f（x）在區(qū)間（0，

1

2

]單調(diào)減，在區(qū)間（

1

2

，1]單調(diào)增，
函數(shù)f（x）、g（x）在同一坐標(biāo)系的大致圖象如圖所示，

f（x）在區(qū)間（0，

1

2

]單調(diào)減，在區(qū)間（

1

2

，1]單調(diào)增，
此時(shí)，兩個(gè)函數(shù)的圖象沒有交點(diǎn)，從而函數(shù)F（x）=g（x）-f（x）的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是0．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，同時(shí)考查了分類討論和數(shù)形結(jié)合的思想，屬于中檔題．