Question

 一幾何體如圖所示，四邊形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，F(xiàn)C⊥平面ABCD，CB=CD=CF．
（Ⅰ）求證：AC⊥平面BCF；
（Ⅱ）若平面AED⊥平面ABCD，證明：平面AED⊥平面BDF．

Answer 1

考點：平面與平面垂直的判定,直線與平面垂直的判定

專題：證明題,空間位置關系與距離

分析：（Ⅰ）先證明AC⊥BC，而FC⊥平面ABCD，所以FC⊥BC．從而可證明AC⊥平面BCF．
（Ⅱ）由（Ⅰ）證明可知BD⊥AD，可證BC⊥平面AED，從而可證平面AED⊥平面BDF．

解答： 證明（Ⅰ）因為四邊形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，
所以∠ADC=∠BDC=120°．
又CB=CD，所以∠CDB=30°，所以∠ADB=90°，即BD⊥AD，于是AC⊥BC．…（4分）
而FC⊥平面ABCD，所以FC⊥BC．
又FC∩BC=C，F(xiàn)C，BC?平面BCF，
所以AC⊥平面BCF．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）證明可知BD⊥AD，
因為平面AED⊥平面ABCD，AD?平面AED，
所以BC⊥平面AED．…（9分）
而BD?平面BDF，
所以平面AED⊥平面BDF．…（12分）

點評：本題主要考查了平面與平面垂直的判定，直線與平面垂直的判定，屬于基本知識的考查．