設(shè)函數(shù)y=f（x）在區(qū)間D上的導(dǎo)數(shù)為f'（x），f'（x）在區(qū)間D上的導(dǎo)數(shù)為g（x），若在區(qū)間D上，g（x）＜0恒成立，則稱函數(shù)y=f（x）在區(qū)間D上為“凸函數(shù)”已知實(shí)數(shù)m是常數(shù)，f(x)=
x4
12
-
mx3
6
-
3x2
2

（1）若y=f（x）在區(qū)間[0，3]上為“凸函數(shù)”，求m的取值范圍；
（2）若對(duì)滿足|m|≤2的任何一個(gè)實(shí)數(shù)m，函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）上都為“凸函數(shù)”，求b-a的最大值．
分析：（1）由題意可得g（x）＜0在[0，3]上恒成立?
g(0)＜0
g(3)＜0
，解得m即可；
（2）令p（m）=g（x）=-xm+x2-3＜0對(duì)?m∈[-2，2]上恒成立?
p(-2)＜0
p(2)＜0
，即轉(zhuǎn)化為看作關(guān)于m的一次函數(shù)，利用其單調(diào)性即可解得x即可．
解答：解：f′(x)=
1
3
x3-
1
2
mx2-3x，g（x）=x2-mx-3．
（1）由題意可得g（x）＜0在[0，3]上恒成立，
∴
g(0)＜0
g(3)＜0
，解得m＞2．
∴m的取值范圍是（2，+∞）；
（2）令p（m）=g（x）=-xm+x2-3＜0對(duì)?m∈[-2，2]上恒成立，
∴
p(-2)＜0
p(2)＜0
，解得-1＜x＜1．
∴（b-a）max=1-（-1）=2．
點(diǎn)評(píng)：正確把問題等價(jià)轉(zhuǎn)化和熟練掌握導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則、一次函數(shù)和二次函數(shù)等是解題的關(guān)鍵．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)y=f（x）在（-∞，+∞）內(nèi)有定義．對(duì)于給定的正數(shù)K，定義函數(shù) fk(x)=
f(x)，f(x)≤K
K，f(x)＞K
，取函數(shù)f（x）=2-x-e-x．若對(duì)任意的x∈（+∞，-∞），恒有fk（x）=f（x），則（　　）
A、K的最大值為2
B、K的最小值為2
C、K的最大值為1
D、K的最小值為1

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)y=f（x）在（-∞，+∞）內(nèi)有定義，對(duì)于給定的正數(shù)K，定義函數(shù)：fK(x)=
f(x)
1
f(x)
f(x)≤K
 
f(x)＞K
，取函數(shù)f(x)=(
1
2
)|x|，當(dāng)K=
1
2
時(shí)，函數(shù)fK（x）的值域是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)y=f（x）在（a，b）上的導(dǎo)數(shù)為f′（x），f′（x）在（a，b）上的導(dǎo)數(shù)為f″（x），若在（a，b）上，f″（x）＜0恒成立，則稱函數(shù)f（x）在（a，b）上為“凸函數(shù)”．若函數(shù)f(x)=
1
12
x4-
1
6
mx3-
3
2
x2為區(qū)間（-1，3）上的“凸函數(shù)”，則m=
2
2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)y=f（x）在（-∞，+∞）上滿足f（-x）=f（4+x），f（4-x）=f（10+x），且在閉區(qū)間[0，7]上，f（x）=0僅有兩個(gè)根x=1和x=3，則方程f（x）=0在閉區(qū)間[-2011，2011]上根的個(gè)數(shù)有
805
805
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)y=f（x）在（-∞，+∞）內(nèi)有定義．對(duì)于給定的正數(shù)K，定義函數(shù)fk（x）=
f(x)，f(x)≥K
K，f(x)＜K
，取函數(shù)f（x）=2+x+e-x．若對(duì)任意的x∈（+∞，-∞），恒有fk（x）=f（x），則（　�。�

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