Question

6．如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點E是棱AB上的動點，設λ=$\frac{AE}{AB}$
（1）求證：DA₁⊥ED₁
（2）若直線DA₁與平面CED₁所成角為30°，求λ的值
（3）當點E在棱AB上移動時，是否存在某個確定的位置使得平面A₁DCB₁與平面CED₁所成二面角為60°，若存在，求出的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）如圖所示，建立空間直角坐標系，可得：D（0，0，0），E（1，λ，0），A₁（1，0，1），D₁（0，0，1）．只要證明：$\overrightarrow{D{A}_{1}}•\overrightarrow{E{D}_{1}}$=0即可；
（2）設平面CED₁的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），利用$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CE}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{C{D}_{1}}=0}\end{array}\right.$，可得$\overrightarrow{n}$．由于直線DA₁與平面CED₁所成角為30°，可得sin30°=$|cos＜\overrightarrow{n}，\overrightarrow{D{A}_{1}}＞|$=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{D{A}_{1}}|}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{D{A}_{1}}|}$，解出即可；
（3）假設當點E在棱AB上移動時，存在某個確定的位置使得平面A₁DCB₁與平面CED₁所成二面角為60°．由于AD₁⊥平面A₁DCB₁，可取$\overrightarrow{D{A}_{1}}$為平面A₁DCB₁的法向量．
由（2）可知：平面CED₁的法向量為$\overrightarrow{n}$=（1-λ，1，1），利用cos60°=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{D{A}_{1}}|}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{D{A}_{1}}|}$，解出即可．

解答 （1）證明：如圖所示，建立空間直角坐標系，
D（0，0，0），E（1，λ，0），A₁（1，0，1），D₁（0，0，1）．
∴$\overrightarrow{D{A}_{1}}$=（1，0，1），$\overrightarrow{E{D}_{1}}$=（-1，-λ，1），
∴$\overrightarrow{D{A}_{1}}•\overrightarrow{E{D}_{1}}$=-1+0+1=0，
∴$\overrightarrow{D{A}_{1}}⊥\overrightarrow{E{D}_{1}}$．即：DA₁⊥ED₁．
（2）解：C（0，1，0），$\overrightarrow{CE}$=（1，λ-1，0），$\overrightarrow{C{D}_{1}}$=（0，-1，1）．（0≤λ≤1）．
設平面CED₁的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CE}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{C{D}_{1}}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x+（λ-1）y=0}\\{-y+z=0}\end{array}\right.$，
取$\overrightarrow{n}$=（1-λ，1，1）．
∵直線DA₁與平面CED₁所成角為30°，
∴sin30°=$|cos＜\overrightarrow{n}，\overrightarrow{D{A}_{1}}＞|$=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{D{A}_{1}}|}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{D{A}_{1}}|}$=$\frac{|1-λ+1|}{\sqrt{（1-λ）^{2}+2}×\sqrt{2}}$，化為λ²-6λ+5=0，解得λ=1或5．
∵0≤λ≤1，
∴λ=1．
（3）解：假設當點E在棱AB上移動時，存在某個確定的位置使得平面A₁DCB₁與平面CED₁所成二面角為60°．
∵AD₁⊥平面A₁DCB₁，可取$\overrightarrow{D{A}_{1}}$=（1，0，1）為平面A₁DCB₁的法向量．
由（2）可知：平面CED₁的法向量為$\overrightarrow{n}$=（1-λ，1，1），
∴cos60°=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{D{A}_{1}}|}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{D{A}_{1}}|}$=$\frac{|1-λ+1|}{\sqrt{（1-λ）^{2}+2}\sqrt{2}}$，又0≤λ≤1，解得λ=1．
∴當點E在棱AB上移動時，存在某個確定的位置點E即取B點時，使得平面A₁DCB₁與平面CED₁所成二面角為60°．

點評 本題考查了線面面面垂直的判定與性質(zhì)定理、利用法向量夾角求空間角，考查了空間想象能力、推理能力與計算能力，屬于中檔題．