Question

19．如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，底面ABC是直角三角形，PA=AB=BC=4，O是棱AC的中點(diǎn)，G是△AOB的重心，D是PA的中點(diǎn)．
（1）求證：BC⊥平面PAB；
（2）求證：DG∥平面PBC；
（3）求二面角A-PC-B的大小．

Answer 1

分析 （1）證明PA⊥BC，BC⊥AB，即可證明BC⊥平面PAB；
（2）連結(jié)OG并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)E，連結(jié)DO，DE，證明平面DOE∥平面PBC，即可證明DG∥平面PBC；
（3）過(guò)點(diǎn)O作OQ∥PC于點(diǎn)Q，連結(jié)BQ，證明∠OQB為二面角A-PC-B的平面角，即可求二面角A-PC-B的大小．

解答 （1）證明：∵PA⊥平面ABC，
∴PA⊥BC，
∵底面ABC是直角三角形，AB=BC，
∴BC⊥AB，
∵PA∩AB=A，
∴BC⊥平面PAB；…（3分）
（2）證明：連結(jié)OG并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)E，連結(jié)DO，DE
∵G是△AOB的重心，∴OE為AB邊上的中線，
∴E為AB邊上的中點(diǎn)，
又有D為PA邊上的中點(diǎn)，
∴DE∥PB，
同理可得DO∥PC，且DE∩DO=D，
∴平面DOE∥平面PBC，
又有DG?平面DOE，
∴DG∥平面PBC                                  …（7分）
（3）解：過(guò)點(diǎn)O作OQ∥PC于點(diǎn)Q，連結(jié)BQ，
∵AB=BC且O是棱AC的中點(diǎn)，∴BO⊥AC．
∵PA⊥平面ABC，∴平面PAC⊥平面ABC．
又有平面PAC∩平面ABC=AC，且BO?平面ABC，
∴BO⊥平面PAC，
又有OQ⊥PC，∴由三垂線定理得BQ⊥PC，
∴∠OQB為二面角A-PC-B的平面角．                   …（10分）
由已知得OB=OC=2$\sqrt{2}$，PC=$\sqrt{16+16+16}$=4$\sqrt{3}$，
∵△PAC∽△OQC，
∴$\frac{OQ}{2\sqrt{2}}=\frac{4}{4\sqrt{3}}$，
∴OQ=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
∴tan∠OQB=$\sqrt{3}$，
∴∠OQB=60°，即二面角A-PC-B的大小為60°．       …（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二面角A-PC-B的大小，考查了線面平行與線面垂直的證明，考查了學(xué)生的空間想象能力與推理論證能力．