Question

16．已知方程x²+y²-6x+2y+m=0．
（1）若此方程表示圓，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）若已知（1）中的圓與直線x+2y-2=0相交于A，B兩點(diǎn)，并且以線段AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O，求此時(shí)m的值．

Answer 1

分析 （1）方程表示圓的時(shí)候有D²+E²-4F＞0，代入計(jì)算，即可求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）以線段AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O得x₁x₂+y₁y₂=0，利用根系關(guān)系，可得結(jié)論．

解答 解：（1）方程x²+y²-6x+2y+m=0，由圓的一般方程知識(shí)得D=-6，E=2，F(xiàn)=m
當(dāng)此方程表示圓的時(shí)候有D²+E²-4F＞0
解之得m＜10．
（2）聯(lián)立直線和圓的方程，消去x并化簡(jiǎn)整理得5y²+6y+m-8=0
設(shè)題中直線與圓的交點(diǎn)為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則在上述方程判別式△＞0的前提下，
由根系關(guān)系得到y(tǒng)₁+y₂=-$\frac{6}{5}$，y₁y₂=$\frac{m-8}{5}$．
再由x=2-2y可得x₁+x₂=$\frac{32}{5}$，x₁x₂=$\frac{4m+12}{5}$
由以線段AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O得x₁x₂+y₁y₂=0
即$\frac{4m+12}{5}$+$\frac{m-8}{5}$=0，解之得m=-$\frac{4}{5}$．驗(yàn)證此時(shí)△＞0成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查根系關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．