Question

設(shè)f（k）表示區(qū)間[2^k-1，2^k]（k∈N^*）上自然數(shù)的個(gè)數(shù)，S_n=f（1）+f（2）+…+f（n）．
（1）求S_n的表達(dá)式；（2）設(shè)P_n=n²+n-1（n∈N^*），試比較S_n與P_n的大小，并說明理由．

Answer 1

解：（1）由題意知f（k）=2^k-2^k-1+1=2^k-1+1，
所以S_n=f（1）+f（2）+…+f（n）=（2⁰+1）+（2¹+1）+…+（2^n-1+1）=2ⁿ+n-1
（2）因?yàn)镾_n-P_n=2ⁿ-n²．當(dāng)n=1時(shí)，S₁-P₁＞0；當(dāng)n=2時(shí)，S₂-P₂=0；
當(dāng)n=3時(shí)，S₃-P₃＜0；當(dāng)n=4時(shí)，S₄-P₄=0；當(dāng)n=5時(shí)，S₅-P₅＞0；當(dāng)n=6時(shí)，S₆-P₆＞0；故猜想：當(dāng)n≥5時(shí)，都有S_n＞P_n．
①當(dāng)n=5時(shí)，已證S₅-P₅＞0，所以結(jié)論成立；
②假設(shè)當(dāng)n=k（k≥5）時(shí)，結(jié)論成立，即S_k＞P_k即2^k＞k²，
那么當(dāng)n=k+1時(shí)，S_k+1-P_k+1=2^k+1-（k+1）²=2•2^k-（k+1）²＞2k²-（k+1）²=k²-2k-1=（k-1）²-2
當(dāng)k≥5時(shí)，（k-1）²-2＞0恒成立，則2^k+1＞（k+1）²，所以當(dāng)n=k+1時(shí)，結(jié)論也成立．
由①②知，當(dāng)n≥5時(shí)，都有S_n＞P_n．
分析：（1）由題意知f（k）=2^k-2^k-1+1=2^k-1+1，然后利用等比數(shù)列的求和公式解之即可求出S_n的表達(dá)式；
（2）因?yàn)镾_n-P_n=2ⁿ-n²．當(dāng)n=1時(shí)，S₁-P₁＞0；當(dāng)n=2時(shí)，S₂-P₂=0，當(dāng)n=3時(shí)，S₃-P₃＜0；當(dāng)n=4時(shí)，S₄-P₄=0；當(dāng)n=5時(shí)，S₅-P₅＞0；當(dāng)n=6時(shí)，S₆-P₆＞0；故猜想：當(dāng)n≥5時(shí)，都有S_n＞P_n，然后利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明即可．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了數(shù)列的求和，以及利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，同時(shí)考查了計(jì)算能力，屬于中檔題．