Question

如圖，F₁，F₂是離心率為的橢圓C：(a＞b＞0)的左、右焦點，直線：x＝－將線段F₁F₂分成兩段，其長度之比為1 : 3．設A，B是C上的兩個動點，線段AB的中垂線與C交于P，Q兩點，線段AB的中點M在直線l上．

(Ⅰ) 求橢圓C的方程；

(Ⅱ) 求的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ)  (Ⅱ) [，）

【解析】

試題分析： (Ⅰ) 設F₂(c，0)，則

＝，所以c＝1．

因為離心率e＝，所以a＝．

所以橢圓C的方程為．                       6分

(Ⅱ) 當直線AB垂直于x軸時，直線AB方程為x＝－，此時P(，0)、Q(,0)

．

當直線AB不垂直于x軸時，設直線AB的斜率為k，M(－，m) (m≠0)，A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)．

由 得(x₁＋x₂)＋2(y₁＋y₂)＝0，

則－1＋4mk＝0，故k＝．

此時，直線PQ斜率為，PQ的直線方程為．

即．

聯立 消去y，整理得．

所以，．

于是(x₁－1)(x₂－1)＋y₁y₂

．

令t＝1＋32m²，1＜t＜29，則．

又1＜t＜29，所以．

綜上，的取值范圍為[，）．                     15分

考點：本題主要考查橢圓的幾何性質，直線與橢圓的位置關系等基礎知識，同時考查解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力。

點評：圓錐曲線問題每年高考都在壓軸題的位置出現，難度較大，但是一般也離不開直線與圓聯立方程，運算量較大，要注意數形結合、設而不求等方法的應用.