Question

已知g（x）=-log_a

1-x

mx-1

是奇函數(shù)（其中a＞1）
（1）求m的值．
（2）判斷g（x）在（1，+∞）上的單調(diào)性，并簡要說明理由．
（3）當x∈（r，a-1）時，若g（x）的取值范圍恰為（1，+∞），求a與r的值．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的判斷,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）由函數(shù)g（x）是奇函數(shù)，可得出g（-x）=-g（x），由此方程恒成立，可得出參數(shù)m的方程，解出參數(shù)的值，再由對數(shù)的真數(shù)大于0得出x的不等式，解出函數(shù)的定義域即可；
（2）由于本題中參數(shù)a的取值范圍未定，故應對它的取值范圍分類討論，判斷函數(shù)的單調(diào)性再進行證明；
（3）由題設(shè)x∈（r，a-2）時，g（x）的值的范圍恰為（1，+∞），可根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性確定出兩個參數(shù)a及r的方程，解方程得出兩個參數(shù)的值．

解答： 解：（1）因為g（x）=-log_a

1-x

mx-1

=log_a

1-mx

1-x

是奇函數(shù)；
即1-m²x²=1-x²對定義域內(nèi)的一切x都成立，
所以m²=1，m=±1，
由于

1-mx

1-x

＞0，所以m=-1；
所以g（x）=log_a

1+x

x-1

，定義域為（-∞，-1）∪（1，+∞）；
（2）當a＞1時，g（x）=log_a

1+x

x-1

，任取x₁，x₂∈（1，+∞），x₁＜x₂，
則g（x₁）-g（x₂）=log_a

1+x1

x1-1

-log_a

1+x2

x2-1

=log_a（

2

x1-1

+1）-log_a（

2

x2-1

+1）
由于x₁，x₂∈（1，+∞），x₁＜x₂，所以

2

x1-1

+1＞

2

x2-1

+1，得g（x₁）＞g（x₂），
所以g（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減；
同理可得，當0＜a＜1時，g（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增；
（3）因為x∈（r，a-2），定義域為（-∞，-1）∪（1，+∞），
1°當r≥1時，則1≤r＜a-1，即a＞2，
所以g（x）在（r，a-1）上為減函數(shù)，值域恰為（1，+∞），所以g（a-2）=1，
即log_a

1+a-2

a-2-1

=log_a

a-1

a-3

=1，即

a-1

a-3

=a，
所以a=2+

3

且r=1，
2°當r＜1時，則（r，a-1）?（-∞，-1），所以0＜a＜1
因為g（x）在（r，a-1）上為增函數(shù)，
所以g（r）=1=a，與0＜a＜1矛盾．
所以a=2+

3

且r=1．

點評：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的運用以及對數(shù)的運算，屬于中檔題．