Question

已知球的表面積為20π,球面上有A、B、C三點,如果AB=AC=2,BC=,求球心到平面ABC的距離.

Answer 1

解析:求出球的半徑R及過A、B、C三點的外接圓的半徑r,利用d、r、R的關(guān)系即可求出d.

如圖,設(shè)球的球心是O,由于O到A、B、C的距離都是球的半徑R,所以O(shè)在平面ABC內(nèi)的射影O′是△ABC的外心.

在△ABC中,由余弦定理得

cos∠BAC=,

∴∠BAC=120°.

設(shè)△ABC的外接圓的半徑為r,則,

∴=2r.∴r=2.

∵S_球=4πR²=20π,∴R²=5.

∴球心O到平面ABC的距離OO′=R²-r²=5-4=1.

小結(jié)：本題的解題過程是利用正弦定理、余弦定理求出△ABC的外接圓的半徑r,利用球面的面積公式求出球的半徑R,再利用球半徑、截面圓半徑及球心到截面之間的關(guān)系求出要求的距離,也可以利用等腰三角形的性質(zhì),求出底邊高,再利用外接圓半徑都相等,也可以利用直角三角形的勾股定理列方程求解.