Question

18．如圖，在平行四邊形ABCD中，E、F分別為BC與DC中點(diǎn)，G為BF與DE交點(diǎn)，若$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow a$，$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow b$，試以$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$為基底表示下面向量
（1）$\overrightarrow{DB}$
（2）$\overrightarrow{AC}$
（3）$\overrightarrow{DE}$
（4）$\overrightarrow{CG}$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)向量減法的幾何意義表示；
（2）根據(jù)向量加法的平行四邊形法則表示；
（3）根據(jù)向量加法和數(shù)乘的幾何意義表示；
（4）根據(jù)A，B，C三點(diǎn)共線時(shí)，$\overrightarrow{OB}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OC}$且x+y=1來表示．

解答 解：（1）$\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow$；
（2）$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow$；
（3）$\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CE}$
=$\overrightarrow{DC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{CB}$
=$\overrightarrow{AB}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$
=$\overrightarrow{a}-\frac{1}{2}\overrightarrow$；
（4）設(shè)$\overrightarrow{CG}=m\overrightarrow{CD}+n\overrightarrow{CE}$，則：
$\overrightarrow{CG}=2m\overrightarrow{CF}+\frac{n}{2}\overrightarrow{CB}$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{m+n=1}\\{2m+\frac{n}{2}=1}\end{array}\right.$；
解得$m=\frac{1}{3}，n=\frac{2}{3}$；
∴$\overrightarrow{CG}=\frac{1}{3}\overrightarrow{CD}+\frac{2}{3}\overrightarrow{CE}$
=$\frac{1}{3}\overrightarrow{CD}+\frac{1}{3}\overrightarrow{CB}$
=$-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}$
=$-\frac{1}{3}\overrightarrow{a}-\frac{1}{3}\overrightarrow$．

點(diǎn)評(píng) 考查向量加法、減法及數(shù)乘的幾何意義，向量加法的平行四邊形法則，以及三點(diǎn)A，B，C共線的充要條件：$\overrightarrow{OB}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OC}$且x+y=1．