Question

已知函數(shù)y=f（x）是定義在R上恒不為0的單調函數(shù)，對任意的x，y∈R，總有f（x）f（y）=f（x+y）成立，若數(shù)列{a_n}的n項和為S_n，且滿足a₁=f（0），（n∈N^*），則S_n=    ．

Answer 1

【答案】分析：首先求出特殊值f（0），然后結合f（x）f（y）=f（x+y）把已知條件變形為a_n+1與a_n的關系式，進一步整理得數(shù)列{a_n+3ⁿ⁺¹}為等比數(shù)列，再運用等比數(shù)列通項公式求得a_n，最后分別運用等比數(shù)列前n項和公式求得S_n．
解答：解：因為任意的x，y∈R，總有f（x）f（y）=f（x+y）成立，
所以f（0）f（0）=f（0），即f（0）•（f（0）-1）=0，
解得f（0）=1，即a₁=1，
又f（a_n+1）•f（3ⁿ⁺¹-2a_n）=1，即f（a_n+1+3ⁿ⁺¹-2a_n）=f（0），
所以a_n+1+3ⁿ⁺¹-2a_n=0，
則a_n+1+3ⁿ⁺¹+2×3ⁿ⁺¹=2a_n+2×3ⁿ⁺¹，，即=2，
所以數(shù)列{a_n+3ⁿ⁺¹}是首項為10，公比為2的等比數(shù)列，
則a_n+3ⁿ⁺¹=10×2^n-1，即a_n=5×2ⁿ-3ⁿ⁺¹，
所以S_n=5×-=．
故答案為．
點評：本題主要考查等比數(shù)列的定義、通項公式、前n項和公式，同時考查函數(shù)的單調性等．