設(shè)函數(shù)f（x）=（1+x）2-2ln（1+x）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)x∈[
1
e
-1，e-1]時(shí)，求f（x）的最大值．
（Ⅰ）由x+1＞0，得：f（x）定義域?yàn)椋?1，+∞）…（2分）f′(x)=2[(x+1)-
1
x+1
]=
2x(x+2)
x+1
，x∈（-1，+∞）…（4分）
由f′(x)=
2x(x+2)
x+1
＞0，x+1＞0得x＞0…（6分）
所以f（x）遞增區(qū)間是[0，+∞）…（7分）
（Ⅱ）由f'（x）＜0，x+1＞0，得-1＜x＜0．所以f（x）遞減區(qū)間是（-1，0）．…（9分）
∴f（x）在[
1
e
-1，0)上遞減，在[0，e-1]上遞增．…（11分）
又f（
1
e
-1）=
1
e 2
+2，f（e-1）=e2-2，
且e2-2＞
1
e 2
+2．
∴當(dāng)x∈[
1
e
-1，e-1]時(shí)，[f（x）]max=e2-2…（14分）
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=ax3-3x+1（x∈R），若對(duì)于任意的x∈[-1，1]都有f（x）≥0成立，則實(shí)數(shù)a的值為
4
4
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•安徽）設(shè)函數(shù)f（x）=ax-（1+a2）x2，其中a＞0，區(qū)間I={x|f（x）＞0}
（Ⅰ）求I的長(zhǎng)度（注：區(qū)間（a，β）的長(zhǎng)度定義為β-α）；
（Ⅱ）給定常數(shù)k∈（0，1），當(dāng)1-k≤a≤1+k時(shí)，求I長(zhǎng)度的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2007•浦東新區(qū)二模）記函數(shù)f（x）=f1（x），f（f（x））=f2（x），它們定義域的交集為D，若對(duì)任意的x∈D，f2（x）=x，則稱f（x）是集合M的元素．
（1）判斷函數(shù)f（x）=-x+1，g（x）=2x-1是否是M的元素；
（2）設(shè)函數(shù)f（x）=log2（1-2x），求f（x）的反函數(shù)f-1（x），并判斷f（x）是否是M的元素；
（3）f（x）=
axx+b
∈M（a＜0），求使f（x）＜1成立的x的范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

記函數(shù)f（x）=f1（x），f（f（x））=f2（x），它們定義域的交集為D，若對(duì)任意的x∈D，f2（x）=x，則稱f（x）是集合M的元素，
例如f（x）=-x+1，對(duì)任意x∈R，f2（x）=f（f（x））=-（-x+1）+1=x，故f（x）=-x+1∈M．
（1）設(shè)函數(shù)f（x）=log2（1-2x），判斷f（x）是否是M的元素，并求f（x）的反函數(shù)f-1（x）；
（2）f(x)=
axx+b
∈M（a＜0），求使f（x）＜1成立的x的范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（1）設(shè)函數(shù)f（x）=xlog2x+（1-x）log2（1-x）（0＜x＜1），求f（x）的最小值．
（2）設(shè)正數(shù)P1，P2，P3，…P2n滿足P1+P2+…P2n=1，求證：P1log2P1+P2log2P2+P3log2P3+…+P2nlog2P2n≥-n．

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