在棱長(zhǎng)為a的正方體OABC—O′A′B′C′中，E、F分別是棱AB、BC上的動(dòng)點(diǎn)，且AE=BF.如圖.

（1）求證：A′F⊥C′E.

（2）當(dāng)三棱錐B′—BEF的體積取得最大值時(shí)，求二面角B′—EF—B的大小（結(jié)果用反三角函數(shù)表示）

 

答案：
解析：

建立坐標(biāo)系，如圖.

（1）證明：設(shè)AE=BF=x，則A′（a，0，a），F（a－x，a，0），C′（0，a，a），E（a，x，0）

∴={－x，a，－a}，={a，x－a，－a}.

∵·=－xa+a（x－a）+a2=0

∴A′F⊥C′E

（2）解：設(shè)BF=x，則EB=a－x

三棱錐B′—BEF的體積

V=x（a－x）·a≤（）2=a3

當(dāng)且僅當(dāng)x=時(shí)，等號(hào)成立.

因此，三棱錐B′—BEF的體積取得最大值時(shí)BE=BF=，過B作BD⊥EF于D，連

B′D，可知B′D⊥EF.∴∠B′DB是二面角B′—EF—B的平面角在直角三角形BEF中，直角邊BE=BF=，BD是斜邊上的高.∴BD=a.

∴tanB′DB=

故二面角B′—EF—B的大小為arctan2.

 


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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)（甲）如圖，已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)面A1C⊥底面ABC，∠ABC=90°，BC=2，AC=2
3
，又AA1⊥A1C，AA1=A1C．
（1）求側(cè)棱A1A與底面ABC所成的角的大��；
（2）求側(cè)面A1B與底面所成二面角的大�。�
（3）求點(diǎn)C到側(cè)面A1B的距離．
（乙）在棱長(zhǎng)為a的正方體OABC-O'A'B'C'中，E，F(xiàn)分別是棱AB，BC上的動(dòng)點(diǎn)，且AE=BF．
（1）求證：A'F⊥C'E；
（2）當(dāng)三棱錐B'-BEF的體積取得最大值時(shí)，求二面角B'-EF-B的大�。ńY(jié)果用反三角函數(shù)表示）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中，M、O、O1分別是A1B、AC、A1C1的中點(diǎn)，且OH⊥O1B，垂足為H．
（1）求證：MO∥平面BB1C1C；
（2）分別求MO與OH的長(zhǎng)；
（3）MO與OH是否為異面直線A1B與AC的公垂線？為什么？求這兩條異面直線間的距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中，O是AC、BD的交點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是AB與AD的中點(diǎn)．
（1）求證：直線OD1與直線A1C1垂直；
（2）求異面直線EF與A1C1所成角的大小；
（3）求二面角B-AC-D1的大�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2001•上海）在棱長(zhǎng)為a的正方體OABC-O′A′B′C′中，E、F分別是棱AB、BC上的動(dòng)點(diǎn)，且AE=BF．
（Ⅰ）求證：A′F⊥C′E；
（Ⅱ）當(dāng)三棱錐B′-BEF的體積取得最大值時(shí)，求二面角B′-EF-B的大�。ńY(jié)果用反三角函數(shù)表示）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：上海 題型：解答題

在棱長(zhǎng)為a的正方體OABC-O′A′B′C′中，E、F分別是棱AB、BC上的動(dòng)點(diǎn)，且AE=BF．
（Ⅰ）求證：A′F⊥C′E；
（Ⅱ）當(dāng)三棱錐B′-BEF的體積取得最大值時(shí)，求二面角B′-EF-B的大�。ńY(jié)果用反三角函數(shù)表示）
精英家教網(wǎng)

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