Question

已知函數(shù)f（x）=x³+mx+n圖象在x=2處的切線方程為9x-y-15=0．
（1）求m和n的值．
（2）求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意，切點(diǎn)在切線上可得切點(diǎn)坐標(biāo)為（2，3），利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，可知f′（2）為切線的斜率k，從而得到兩個(gè)關(guān)于m，n的方程，求解即可得到m和n的值；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，得到f（x），求出f′（x），求解f′（x）＜0，即可得到函數(shù)y=f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．

解答：解：（1）∵函數(shù)f（x）=x³+mx+n圖象在x=2處的切線方程為9x-y-15=0，
∴切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x=2，
∵切點(diǎn)在切線上，則9×2-y-15=0，即y=3，
∴切點(diǎn)坐標(biāo)為（2，3），
∵f（x）=x³+mx+n，
∴f′（x）=3x²+m，
∵函數(shù)f（x）=x³+mx+n圖象在x=2處的切線方程為9x-y-15=0，
∴f′（2）=9，
∴

f′(2)=9 f(2)=3

，
即

12+m=9 8+2m+n=3

，
解得m=-3和n=1，
∴m和n的值分別為-3和1；
（2）由（1）可知，m=-3和n=1，
∴f（x）=x³-3x+1，
∴f′（x）=3x²-3，
令f′（x）=3x²-3＜0，解得-1＜x＜1，
∴f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-1，1）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．導(dǎo)數(shù)的幾何意義即在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)即該點(diǎn)處切線的斜率，解題時(shí)要注意運(yùn)用切點(diǎn)在曲線上和切點(diǎn)在切線上．對(duì)于利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，注意導(dǎo)數(shù)的正負(fù)對(duì)應(yīng)著函數(shù)的單調(diào)性．屬于中檔題．