分析 (1)f(x)定義域?yàn)椋?,+∞),${f^/}(x)=\frac{1}{x}-a=\frac{1-ax}{x}$.對a分類討論,即可得出單調(diào)性.
(2)函數(shù)h(x)=f(x+1)+g(x)=ln(x+1)-ax+ex.分類討論:(。┊(dāng)a≤2時(shí),由重要不等式ex≥x+1知,${h^/}(x)={e^x}+\frac{1}{x+1}-a≥({x+1})+\frac{1}{x+1}-a≥2-a≥0$,即可得出結(jié)論.
(ⅱ)當(dāng)a>2時(shí),∵x∈[0,+∞),故${h^{∥}}(x)={e^x}-\frac{1}{{{{({x+1})}^2}}}=\frac{{{{({x+1})}^2}{e^x}-1}}{{{{({x+1})}^2}}}≥0$,可得h′(x)在[0,+∞)上遞增,進(jìn)而得出h′(x)的單調(diào)性及其結(jié)論.
解答 解:(1)f(x)定義域?yàn)椋?,+∞),${f^/}(x)=\frac{1}{x}-a=\frac{1-ax}{x}$.
(。┊(dāng)a≤0時(shí),對?x>0,f′(x)>0,函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,+∞),無極值;
(ⅱ)當(dāng)a>0時(shí),時(shí),f′(x)>0;當(dāng)$x∈({\frac{1}{a},+∞})$時(shí),f′(x)<0,所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是$({0,\frac{1}{a}})$,單調(diào)遞減區(qū)間是$[{\frac{1}{a},+∞})$.當(dāng)$x=\frac{1}{a}$時(shí),取得極大值-lna+a-1,無極小值.
(2)函數(shù)h(x)=f(x+1)+g(x)=ln(x+1)-ax+ex.
(。┊(dāng)a≤2時(shí),由重要不等式ex≥x+1知,${h^/}(x)={e^x}+\frac{1}{x+1}-a≥({x+1})+\frac{1}{x+1}-a≥2-a≥0$,h(x)在[0,+∞)上遞增,所以h(x)≥h(0)=1恒成立,符合題意.
(ⅱ)當(dāng)a>2時(shí),因?yàn)閤∈[0,+∞),故${h^{∥}}(x)={e^x}-\frac{1}{{{{({x+1})}^2}}}=\frac{{{{({x+1})}^2}{e^x}-1}}{{{{({x+1})}^2}}}≥0$,∴h′(x)在[0,+∞)上遞增.又h′(0)=2-a<0,存在x0∈(0,+∞),使得h′(x0)=0,從而函數(shù)h(x)在(0,x0)上遞減,在(x0,+∞)上遞增,又h(x0)<h(0)=1,∴h(x)≥1不恒成立,不滿足題意.
綜上(。,(ⅱ)知實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-∞,2].
點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、不等式的解法、等價(jià)轉(zhuǎn)化方法,考查了分類討論方法、推理能力與計(jì)算能力,屬于難題.
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