Question

14．設(shè)函數(shù)f（x）=lnx-a（x-1）（a∈R），g（x）=e^x．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（2）設(shè)h（x）=f（x+1）+g（x），當(dāng)x≥0時(shí)，h（x）≥1恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）f（x）定義域?yàn)椋?，+∞），${f^/}（x）=\frac{1}{x}-a=\frac{1-ax}{x}$．對a分類討論，即可得出單調(diào)性．
（2）函數(shù)h（x）=f（x+1）+g（x）=ln（x+1）-ax+e^x．分類討論：（�。┊�(dāng)a≤2時(shí)，由重要不等式e^x≥x+1知，${h^/}（x）={e^x}+\frac{1}{x+1}-a≥（{x+1}）+\frac{1}{x+1}-a≥2-a≥0$，即可得出結(jié)論．
（ⅱ）當(dāng)a＞2時(shí)，∵x∈[0，+∞），故${h^{∥}}（x）={e^x}-\frac{1}{{{{（{x+1}）}^2}}}=\frac{{{{（{x+1}）}^2}{e^x}-1}}{{{{（{x+1}）}^2}}}≥0$，可得h′（x）在[0，+∞）上遞增，進(jìn)而得出h′（x）的單調(diào)性及其結(jié)論．

解答 解：（1）f（x）定義域?yàn)椋?，+∞），${f^/}（x）=\frac{1}{x}-a=\frac{1-ax}{x}$．
（�。┊�(dāng)a≤0時(shí)，對?x＞0，f′（x）＞0，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，+∞），無極值；
（ⅱ）當(dāng)a＞0時(shí)，時(shí)，f′（x）＞0；當(dāng)$x∈（{\frac{1}{a}，+∞}）$時(shí)，f′（x）＜0，所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是$（{0，\frac{1}{a}}）$，單調(diào)遞減區(qū)間是$[{\frac{1}{a}，+∞}）$．當(dāng)$x=\frac{1}{a}$時(shí)，取得極大值-lna+a-1，無極小值．
（2）函數(shù)h（x）=f（x+1）+g（x）=ln（x+1）-ax+e^x．
（�。┊�(dāng)a≤2時(shí)，由重要不等式e^x≥x+1知，${h^/}（x）={e^x}+\frac{1}{x+1}-a≥（{x+1}）+\frac{1}{x+1}-a≥2-a≥0$，h（x）在[0，+∞）上遞增，所以h（x）≥h（0）=1恒成立，符合題意．
（ⅱ）當(dāng)a＞2時(shí)，因?yàn)閤∈[0，+∞），故${h^{∥}}（x）={e^x}-\frac{1}{{{{（{x+1}）}^2}}}=\frac{{{{（{x+1}）}^2}{e^x}-1}}{{{{（{x+1}）}^2}}}≥0$，∴h′（x）在[0，+∞）上遞增．又h′（0）=2-a＜0，存在x₀∈（0，+∞），使得h′（x₀）=0，從而函數(shù)h（x）在（0，x₀）上遞減，在（x₀，+∞）上遞增，又h（x₀）＜h（0）=1，∴h（x）≥1不恒成立，不滿足題意．
綜上（�。�，（ⅱ）知實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，2]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、不等式的解法、等價(jià)轉(zhuǎn)化方法，考查了分類討論方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．