Question

已知函數(shù)y=f（x）的定義域為R，當x＜0時，f（x）＞1，且對任意的x，y∈R，等式f（x）f（y）=f（x+y）成立．若數(shù)列{a_n}滿足：a₁=f（0），（n∈N^*），則a₂₀₁₁的值為________．

Answer 1

4021
分析：先通過等式f（x）f（y）=f（x+y）成立，得出當且僅當x=0時有f（0）=1，由已知，由，得f（a_n+1）f（-2-a_n）=1=f（0）所以a_n+1-2-a_n=0，即a_n+1=2+a_n，判斷出數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，利用通項公式求解即可．
解答：在f（x）f（y）=f（x+y）中取x=-1，y=0，得出f（-1）f（0）=f（-1），當x＜0時，f（x）＞1，所以f（0）=1．
當x＞0時，f（x）f（-x）=f（0）=1，f（x）=∈（0，1）．
又a₁=f（0）=1，
由，得f（a_n+1）f（-2-a_n）=1=f（0）所以a_n+1-2-a_n=0，即a_n+1=2+a_n
所以數(shù)列{a_n}是以1為首項，以2為公差的等差數(shù)列，通項公式為a_n=1+2（n-1）=2n-1，
所以a₂₀₁₁=4021．
故答案為：4021．
點評：本題是函數(shù)與數(shù)列的綜合，考查賦值法、轉(zhuǎn)化構(gòu)造法、用到了等差數(shù)列的判定、通項公式求解及應(yīng)用．