Question

13．已知a₁=$\frac{1}{2}$a₂≠0，數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n+1=3S_n-2S_n-1（n≥2），設(shè)b_n=$\frac{{S}_{n}}{{a}_{n}}$（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{b_n}的通項公式；
（2）設(shè)c_n=nb_n+$\frac{n+1}{{2}^{n}}$（n∈N^*），數(shù)列{c_n}的前n項和為T_n，證明：T₁₀＞109．

Answer 1

分析 （1）運用數(shù)列的遞推式可得n≥2時，a_n+1=2a_n，再由等比數(shù)列的通項公式和求和公式，即可得到所求數(shù)列的通項公式；
（2）求得c_n=nb_n+$\frac{n+1}{{2}^{n}}$=2n-$\frac{n}{{2}^{n-1}}$+$\frac{n+1}{{2}^{n}}$，運用數(shù)列的求和方法：分組求和和裂項相消求和，即可得到所求和，即可得證．

解答 解：（1）由S_n+1=3S_n-2S_n-1（n≥2），可得S_n+1-S_n=2（S_n-S_n-1），
即為n≥2時，a_n+1=2a_n，
a₁=$\frac{1}{2}$a₂≠0，可得$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=2，即數(shù)列{a_n}（n∈N*）是以2為公比的等比數(shù)列，
故a_n=a₁•2^n-1，S_n=$\frac{{a}_{1}（1-{2}^{n}）}{1-2}$=a₁•（2ⁿ-1），
則b_n=$\frac{{S}_{n}}{{a}_{n}}$=$\frac{{2}^{n}-1}{{2}^{n-1}}$．
（2）證明：c_n=nb_n+$\frac{n+1}{{2}^{n}}$=2n-$\frac{n}{{2}^{n-1}}$+$\frac{n+1}{{2}^{n}}$，
則T₁₀=2（1+2+…+10）-$\frac{1}{{2}^{0}}$+$\frac{2}{{2}^{1}}$-$\frac{2}{{2}^{1}}$+$\frac{3}{{2}^{2}}$+…-$\frac{10}{{2}^{9}}$+$\frac{11}{{2}^{10}}$
=2×$\frac{1}{2}$×10×11-1+$\frac{11}{{2}^{10}}$=109+$\frac{11}{{2}^{10}}$＞109．

點評 本題考查數(shù)列的通項公式的求法，注意運用數(shù)列遞推式，考查等比數(shù)列的通項公式和求和公式的運用，以及數(shù)列的求和方法：分組求和與裂項相消求和，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．